Determinar
para cada uma das funçöes seguintes:
Passo 1
Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. Aqui, estamos trabalhando com Cálculo Diferencial, mais especificamente com derivadas de funções definidas por integrais. Precisaremos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. Quando temos uma função de várias variáveis, como
, a derivada parcial em relação a
mostra como a função muda quando apenas
varia, mantendo
constante, e vice-versa.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo. Esse teorema nos diz que se
, então a derivada de
em relação a
é simplesmente
. Ou seja,
.
Passo 4
No nosso caso,
. Para encontrar
, tratamos
como uma constante e derivamos em relação a
:
Isso porque, segundo o teorema, a derivada em relação ao limite superior
simplesmente substitui
por
na função integranda.
Passo 5
Para encontrar
, tratamos
como uma constante e derivamos em relação a
. Aqui, precisamos lembrar que derivar em relação ao limite inferior traz um sinal negativo:
O sinal negativo aparece porque estamos movendo o limite inferior, o que inverte a direção da variação.
Resposta
As derivadas parciais são:
Exercícios relacionados
Calcule as derivadas de ordem superior indicada:
(b)
(b)
Encontre o domínio da função.
.
Utilize o GeoGebra para fazer o gráfico das curvas abaixo (as figuras obtidas neste exercício são chamadas de limaçons; as obtidas nos itens ©, (h), (m) e ® também são chamadas de cardioides).
.
Determinar
para cada uma das funçöes seguintes: