Determinar partial fpartial x e partial fpartial y para cada uma das funçöes seguintes: f(x, y)=integralx^y e^-t^2 d t

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para encontrar as derivadas parciais de em relação a e . Aqui, estamos trabalhando com Cálculo Diferencial, mais especificamente com derivadas de funções definidas por integrais. Precisaremos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. Quando temos uma função de várias variáveis, como , a derivada parcial em relação a mostra como a função muda quando apenas varia, mantendo constante, e vice-versa.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo. Esse teorema nos diz que se , então a derivada de em relação a é simplesmente . Ou seja, .

Passo 4

No nosso caso, partial fpartial y = e^-y^2 . Para encontrar , tratamos como uma constante e derivamos em relação a :
Isso porque, segundo o teorema, a derivada em relação ao limite superior simplesmente substitui por na função integranda.

Passo 5

Para encontrar partial fpartial x = -e^-x^2 , tratamos como uma constante e derivamos em relação a . Aqui, precisamos lembrar que derivar em relação ao limite inferior traz um sinal negativo:
O sinal negativo aparece porque estamos movendo o limite inferior, o que inverte a direção da variação.

Resposta

As derivadas parciais são:
partial fpartial x = -e^-x^2 e partial fpartial y = e^-y^2

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