Utilize o GeoGebra para fazer o gráfico das curvas abaixo (as figuras obtidas neste exercício são chamadas de limaçons; as obtidas nos itens ©, (h), (m) e ® também são chamadas de cardioides).
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada aqui é usar o GeoGebra para desenhar o gráfico da curva definida pela equação polar
. Essa curva é conhecida como limaçon, e dependendo dos parâmetros, pode ser também uma cardioide. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre coordenadas polares e como usar o GeoGebra para plotar essas curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre coordenadas polares. Diferente das coordenadas cartesianas (onde usamos
e
), nas coordenadas polares usamos dois valores:
e
(também chamado de
). Aqui,
representa a distância do ponto até a origem, e
é o ângulo formado com o eixo positivo
. Essa forma é super útil para desenhar curvas que têm uma simetria circular ou radial.
Passo 3
Agora, sobre a limaçon. A equação geral de uma limaçon é
ou
. Dependendo dos valores de
e
, a curva pode ter diferentes formatos:
- Se
, a limaçon não tem dente, é mais arredondada. - Se
, ela se transforma em uma cardioide, que tem uma aparência de coração com um único “dente”. - Se
, a limaçon tem um dente adicional, parecendo com uma espécie de rosca ou com uma cavidade.
No nosso caso, a equação é
. Aqui,
e
. Como
, sabemos que teremos uma limaçon com um dente.
Passo 4
Vamos ao GeoGebra! É uma ferramenta ótima para visualizar essas curvas. Aqui está o passo a passo para plotar a nossa limaçon:
- Abrir o GeoGebra: Se ainda não tem, baixe e instale o GeoGebra ou use a versão online.
- Selecionar a ferramenta de entrada: Na barra de entrada, geralmente na parte inferior.
- Inserir a equação polar: Você pode digitar diretamente a equação em coordenadas polares. No GeoGebra, utilize a sintaxe correta. Para nossa equação, digite:
ou, se precisar utilizar a notação de função:r = 1 - 2 cos(t)
r(t) = 1 - 2 cos(t)
- Plotar a curva: Depois de inserir a equação, o GeoGebra deve automaticamente desenhar a curva na área gráfica.
- Ajustar a visualização: Se necessário, ajuste o zoom ou as escalas para ver melhor todos os detalhes da limaçon.
Passo 5
Pronto! Depois de seguir esses passos, você deve ver no GeoGebra a curva da limaçon
. Como mencionamos, ela terá um dente devido aos valores de
e
. Você pode interagir com a curva, mudar o ângulo
e observar como o ponto se move ao longo da curva, o que ajuda a entender melhor a forma da limaçon.
Resposta
Seguindo esses passos, você conseguirá visualizar no GeoGebra a limaçon definida por
, que apresenta um dente característico devido aos parâmetros utilizados na equação.
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Determinar
para cada uma das funçöes seguintes:
Calcule as derivadas de ordem superior indicada:
(b)
(b)
Determinar
para cada uma das funçöes seguintes:
Encontre os extremos relativos das funções usando o teste da segunda derivada, quando aplicável. Em caso contrário, use o teste da derivada primeira. Determine, também, os pontos de inflexão, bem como onde o gráfico é côncavo para cima e/ou côncavo para baixo. Também, encontre as assíntotas horizontal, vertical, caso existam. Por fim, faça o esboço do mesmo.
(d)
(d)