Utilize o GeoGebra para fazer o gráfico das curvas abaixo (as figuras obtidas neste exercício são chamadas de limaçons; as obtidas nos itens ©, (h), (m) e ® também são chamadas de cardioides).
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada aqui é usar o GeoGebra para desenhar o gráfico da curva definida pela equação polar . Essa curva é conhecida como limaçon, e dependendo dos parâmetros, pode ser também uma cardioide. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre coordenadas polares e como usar o GeoGebra para plotar essas curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre coordenadas polares. Diferente das coordenadas cartesianas (onde usamos e ), nas coordenadas polares usamos dois valores: e (também chamado de ). Aqui, representa a distância do ponto até a origem, e é o ângulo formado com o eixo positivo . Essa forma é super útil para desenhar curvas que têm uma simetria circular ou radial.

Passo 3

Agora, sobre a limaçon. A equação geral de uma limaçon é ou . Dependendo dos valores de e , a curva pode ter diferentes formatos:
  • Se , a limaçon não tem dente, é mais arredondada.
  • Se , ela se transforma em uma cardioide, que tem uma aparência de coração com um único “dente”.
  • Se , a limaçon tem um dente adicional, parecendo com uma espécie de rosca ou com uma cavidade.
No nosso caso, a equação é . Aqui, e . Como , sabemos que teremos uma limaçon com um dente.

Passo 4

Vamos ao GeoGebra! É uma ferramenta ótima para visualizar essas curvas. Aqui está o passo a passo para plotar a nossa limaçon:
  1. Abrir o GeoGebra: Se ainda não tem, baixe e instale o GeoGebra ou use a versão online.
  2. Selecionar a ferramenta de entrada: Na barra de entrada, geralmente na parte inferior.
  3. Inserir a equação polar: Você pode digitar diretamente a equação em coordenadas polares. No GeoGebra, utilize a sintaxe correta. Para nossa equação, digite:
    r = 1 - 2 cos(t)
    
    ou, se precisar utilizar a notação de função:
    r(t) = 1 - 2 cos(t)
    
  4. Plotar a curva: Depois de inserir a equação, o GeoGebra deve automaticamente desenhar a curva na área gráfica.
  5. Ajustar a visualização: Se necessário, ajuste o zoom ou as escalas para ver melhor todos os detalhes da limaçon.

Passo 5

Pronto! Depois de seguir esses passos, você deve ver no GeoGebra a curva da limaçon . Como mencionamos, ela terá um dente devido aos valores de e . Você pode interagir com a curva, mudar o ângulo e observar como o ponto se move ao longo da curva, o que ajuda a entender melhor a forma da limaçon.

Resposta

Seguindo esses passos, você conseguirá visualizar no GeoGebra a limaçon definida por , que apresenta um dente característico devido aos parâmetros utilizados na equação.

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Calcule as derivadas de ordem superior indicada:
(b)
Determinar para cada uma das funçöes seguintes:
Encontre os extremos relativos das funções usando o teste da segunda derivada, quando aplicável. Em caso contrário, use o teste da derivada primeira. Determine, também, os pontos de inflexão, bem como onde o gráfico é côncavo para cima e/ou côncavo para baixo. Também, encontre as assíntotas horizontal, vertical, caso existam. Por fim, faça o esboço do mesmo.
(d)