Determinar
para cada uma das funçöes seguintes:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar as derivadas parciais de em relação a
e
. Isso está dentro de Cálculo Diferencial, mais especificamente nas derivadas parciais e no Teorema Fundamental do Cálculo. Para resolver, vamos precisar aplicar esse teorema combinado com a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz que se
, então
. Isso significa que a derivada da integral em relação ao limite superior é simplesmente a função dentro da integral avaliada nesse limite.
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
. Observa que o limite superior da integral é
, que depende de
. Então, aplicamos a regra da cadeia:
A derivada de
em relação a
é 2. Então:
Passo 4
Agora, vamos derivar
em relação a
. Novamente, o limite superior
depende de
. Aplicando a mesma lógica:
A derivada de
em relação a
é 1. Portanto:
Resposta
As derivadas parciais são:
e
Exercícios relacionados
Utilize o GeoGebra para fazer o gráfico das curvas abaixo (as figuras obtidas neste exercício são chamadas de limaçons; as obtidas nos itens ©, (h), (m) e ® também são chamadas de cardioides).
.
Determinar
para cada uma das funçöes seguintes:
Encontre os extremos relativos das funções usando o teste da segunda derivada, quando aplicável. Em caso contrário, use o teste da derivada primeira. Determine, também, os pontos de inflexão, bem como onde o gráfico é côncavo para cima e/ou côncavo para baixo. Também, encontre as assíntotas horizontal, vertical, caso existam. Por fim, faça o esboço do mesmo.
(d)
(d)
Utilize o GeoGebra para fazer o gráfico das curvas abaixo.
.