Determinar partial fpartial x e partial fpartial y para cada uma das funçöes seguintes: f(x, y)=integral0^2 x+y(cos v-sen v) d v

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar as derivadas parciais de em relação a e . Isso está dentro de Cálculo Diferencial, mais especificamente nas derivadas parciais e no Teorema Fundamental do Cálculo. Para resolver, vamos precisar aplicar esse teorema combinado com a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz que se , então . Isso significa que a derivada da integral em relação ao limite superior é simplesmente a função dentro da integral avaliada nesse limite.

Passo 3

Agora, vamos derivar partial fpartial x = (cos(2x + y) - sen(2x + y)) cdot partialpartial x(2x + y) em relação a partial fpartial x = 2 cdot (cos(2x + y) - sen(2x + y)) . Observa que o limite superior da integral é , que depende de . Então, aplicamos a regra da cadeia:
A derivada de em relação a é 2. Então:

Passo 4

Agora, vamos derivar partial fpartial y = (cos(2x + y) - sen(2x + y)) cdot partialpartial y(2x + y) em relação a partial fpartial y = cos(2x + y) - sen(2x + y) . Novamente, o limite superior depende de . Aplicando a mesma lógica:
A derivada de em relação a é 1. Portanto:

Resposta

As derivadas parciais são:
e

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