Determinar partial fpartial x e partial fpartial y para cada uma das funçöes seguintes: f(x, y)=integralx^y cos t d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada parcial da função . Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com derivadas parciais e integrais definidas. Para resolver isso, vamos precisar entender como diferenciar uma integral que tem os limites variando com as variáveis e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Regra de Leibniz para diferenciação sob o sinal de integral. Ela nos diz como derivar uma integral quando os limites dependem de alguma variável. A regra geral é:
partialpartial u ( integrala(u)^b(u) g(t) , dt ) = g(b(u)) cdot db(u)du - g(a(u)) cdot da(u)du
Isso significa que a derivada da integral em relação a é a função integranda avaliada no limite superior multiplicada pela derivada do limite superior menos a função integranda avaliada no limite inferior multiplicada pela derivada do limite inferior.

Passo 3

Vamos aplicar essa regra para encontrar partial fpartial x = cos(y) cdot 0 - cos(x) cdot dxdx = -cos(x) cdot 1 = -cos(x) . Aqui, , o limite inferior da integral. O limite superior não depende de , então sua derivada em relação a é zero. Aplicando a Regra de Leibniz:

Passo 4

Agora, vamos encontrar partial fpartial y = cos(y) cdot dydy - cos(x) cdot 0 = cos(y) cdot 1 = cos(y) . Desta vez, é o limite superior da integral, e o limite inferior não depende de . Aplicando novamente a Regra de Leibniz:

Resposta

As derivadas parciais são:
partial fpartial x = -cos(x) e partial fpartial y = cos(y)

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