Determinar
para cada uma das funçöes seguintes:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a derivada parcial da função
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com derivadas parciais e integrais definidas. Para resolver isso, vamos precisar entender como diferenciar uma integral que tem os limites variando com as variáveis
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da Regra de Leibniz para diferenciação sob o sinal de integral. Ela nos diz como derivar uma integral quando os limites dependem de alguma variável. A regra geral é:
Isso significa que a derivada da integral em relação a
é a função integranda avaliada no limite superior multiplicada pela derivada do limite superior menos a função integranda avaliada no limite inferior multiplicada pela derivada do limite inferior.
Passo 3
Vamos aplicar essa regra para encontrar
. Aqui,
, o limite inferior da integral. O limite superior
não depende de
, então sua derivada em relação a
é zero. Aplicando a Regra de Leibniz:
Passo 4
Agora, vamos encontrar
. Desta vez,
é o limite superior da integral, e o limite inferior
não depende de
. Aplicando novamente a Regra de Leibniz:
Resposta
As derivadas parciais são:
Exercícios relacionados
Encontre os extremos relativos das funções usando o teste da segunda derivada, quando aplicável. Em caso contrário, use o teste da derivada primeira. Determine, também, os pontos de inflexão, bem como onde o gráfico é côncavo para cima e/ou côncavo para baixo. Também, encontre as assíntotas horizontal, vertical, caso existam. Por fim, faça o esboço do mesmo.
©
©
Encontre
e
Exercício 2. (10 pontos) Consideremos a região
, dada por
. Seja
e
o sólido de revolução obtido pela rotação de
ao redor do eixo
e
, respectivamente. Calcule o volume dos sólidos
e
.
Utilize o GeoGebra para fazer o gráfico das curvas abaixo (as figuras obtidas neste exercício são chamadas de limaçons; as obtidas nos itens ©, (h), (m) e ® também são chamadas de cardioides).
.