Determinar para cada uma das funçöes seguintes:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada parcial da função . Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com derivadas parciais e integrais definidas. Para resolver isso, vamos precisar entender como diferenciar uma integral que tem os limites variando com as variáveis e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Regra de Leibniz para diferenciação sob o sinal de integral. Ela nos diz como derivar uma integral quando os limites dependem de alguma variável. A regra geral é:
Isso significa que a derivada da integral em relação a é a função integranda avaliada no limite superior multiplicada pela derivada do limite superior menos a função integranda avaliada no limite inferior multiplicada pela derivada do limite inferior.

Passo 3

Vamos aplicar essa regra para encontrar . Aqui, , o limite inferior da integral. O limite superior não depende de , então sua derivada em relação a é zero. Aplicando a Regra de Leibniz:

Passo 4

Agora, vamos encontrar . Desta vez, é o limite superior da integral, e o limite inferior não depende de . Aplicando novamente a Regra de Leibniz:

Resposta

As derivadas parciais são:

Exercícios relacionados

Encontre os extremos relativos das funções usando o teste da segunda derivada, quando aplicável. Em caso contrário, use o teste da derivada primeira. Determine, também, os pontos de inflexão, bem como onde o gráfico é côncavo para cima e/ou côncavo para baixo. Também, encontre as assíntotas horizontal, vertical, caso existam. Por fim, faça o esboço do mesmo.
©
Encontre e
Exercício 2. (10 pontos) Consideremos a região , dada por . Seja e o sólido de revolução obtido pela rotação de ao redor do eixo e , respectivamente. Calcule o volume dos sólidos e .
Utilize o GeoGebra para fazer o gráfico das curvas abaixo (as figuras obtidas neste exercício são chamadas de limaçons; as obtidas nos itens ©, (h), (m) e ® também são chamadas de cardioides).
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