Encontre os extremos relativos das funções usando o teste da segunda derivada, quando aplicável. Em caso contrário, use o teste da derivada primeira. Determine, também, os pontos de inflexão, bem como onde o gráfico é côncavo para cima e/ou côncavo para baixo. Também, encontre as assíntotas horizontal, vertical, caso existam. Por fim, faça o esboço do mesmo.
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Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar os extremos relativos da função usando o teste da segunda derivada ou, se não der, o teste da primeira derivada. Além disso, temos que determinar os pontos de inflexão, onde o gráfico é côncavo para cima ou para baixo, identificar as assíntotas horizontais e verticais, e finalmente, fazer um esboço do gráfico. Para isso, vamos precisar de cálculo diferencial, especificamente derivadas de primeira e segunda ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira de para identificar os pontos críticos, que nos ajudarão a localizar os extremos relativos. A derivada de uma função racional pode ser encontrada usando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, onde ou onde a derivada não existe.
A derivada não existe quando o denominador é zero, ou seja, quando , que dá . Esses pontos serão investigados posteriormente para assíntotas verticais.

Passo 4

Vamos usar o teste da segunda derivada para determinar se o ponto crítico é um ponto de máximo, mínimo ou nenhum dos dois. Primeiro, encontramos a segunda derivada :
Aplicando a regra do quociente novamente:
Simplificando:
Podemos fatorar :
Agora, avaliamos :
Como , isso indica que é um ponto de máximo relativo.

Passo 5

Vamos agora encontrar os pontos de inflexão, que são os pontos onde a concavidade do gráfico muda, ou seja, onde a segunda derivada muda de sinal. Para isso, resolvemos :
Como não há soluções reais para essa equação, não existem pontos de inflexão. Isso significa que a concavidade permanece a mesma em todo o domínio da função, exceto possivelmente nas assíntotas.

Passo 6

Agora, vamos determinar onde o gráfico é côncavo para cima ou para baixo observando o sinal da segunda derivada :
O numerador é sempre positivo, já que é sempre não negativo e para todo .
O denominador muda de sinal dependendo de :
  • Para , , então .
  • Para , , então .
Portanto:
  • Para , : o gráfico é côncavo para baixo.
  • Para , : o gráfico é côncavo para cima.

Passo 7

Vamos agora identificar as assíntotas da função .
Assíntotas Verticais:
Ocorram quando o denominador é zero e o numerador é diferente de zero. Resolvendo :
Então, existem assíntotas verticais em e .
Assíntota Horizontal:
Para encontrar a assíntota horizontal, observamos o comportamento da função quando tende ao infinito. Como os graus do numerador e denominador são iguais (ambos 2), a assíntota horizontal é dada pela razão dos coeficientes dos termos de maior grau:
Então, há uma assíntota horizontal em .

Passo 8

Por fim, vamos resumir tudo para fazer o esboço do gráfico:
  • Extremo Relativo: Máximo em , .
  • Pontos de Inflexão: Nenhum.
  • Concavidade:
    • Côncavo para baixo em .
    • Côncavo para cima em .
  • Assíntotas:
    • Verticais em e .
    • Horizontal em .
Com essas informações, podemos desenhar o gráfico da função, marcando o ponto máximo, as assíntotas e indicando as regiões de concavidade.

Resposta

A função possui um ponto de máximo relativo em com . Não há pontos de inflexão. O gráfico é côncavo para baixo no intervalo e côncavo para cima para . Existem assíntotas verticais em e , e uma assíntota horizontal em . O esboço do gráfico reflete esses aspectos.

Exercícios relacionados

Encontre e
Utilize o GeoGebra para fazer o gráfico das curvas abaixo.
.
Determinar para cada uma das funçöes seguintes:
Exercício 2. (10 pontos) Consideremos a região , dada por . Seja e o sólido de revolução obtido pela rotação de ao redor do eixo e , respectivamente. Calcule o volume dos sólidos e .