Encontre os extremos relativos das funções usando o teste da segunda derivada, quando aplicável. Em caso contrário, use o teste da derivada primeira. Determine, também, os pontos de inflexão, bem como onde o gráfico é côncavo para cima e/ou côncavo para baixo. Também, encontre as assíntotas horizontal, vertical, caso existam. Por fim, faça o esboço do mesmo.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar os extremos relativos da função
usando o teste da segunda derivada ou, se não der, o teste da primeira derivada. Além disso, temos que determinar os pontos de inflexão, onde o gráfico é côncavo para cima ou para baixo, identificar as assíntotas horizontais e verticais, e finalmente, fazer um esboço do gráfico. Para isso, vamos precisar de cálculo diferencial, especificamente derivadas de primeira e segunda ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira de
para identificar os pontos críticos, que nos ajudarão a localizar os extremos relativos. A derivada de uma função racional pode ser encontrada usando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, onde
ou onde a derivada não existe.
A derivada não existe quando o denominador é zero, ou seja, quando
, que dá
. Esses pontos serão investigados posteriormente para assíntotas verticais.
Passo 4
Vamos usar o teste da segunda derivada para determinar se o ponto crítico
é um ponto de máximo, mínimo ou nenhum dos dois. Primeiro, encontramos a segunda derivada
:
Aplicando a regra do quociente novamente:
Simplificando:
Podemos fatorar
:
Agora, avaliamos
:
Como
, isso indica que
é um ponto de máximo relativo.
Passo 5
Vamos agora encontrar os pontos de inflexão, que são os pontos onde a concavidade do gráfico muda, ou seja, onde a segunda derivada muda de sinal. Para isso, resolvemos
:
Como não há soluções reais para essa equação, não existem pontos de inflexão. Isso significa que a concavidade permanece a mesma em todo o domínio da função, exceto possivelmente nas assíntotas.
Passo 6
Agora, vamos determinar onde o gráfico é côncavo para cima ou para baixo observando o sinal da segunda derivada
:
O numerador
é sempre positivo, já que
é sempre não negativo e
para todo
.
O denominador
muda de sinal dependendo de
:
- Para
, , então . - Para
, , então .
Portanto:
- Para
, : o gráfico é côncavo para baixo. - Para
, : o gráfico é côncavo para cima.
Passo 7
Vamos agora identificar as assíntotas da função
.
Assíntotas Verticais:
Ocorram quando o denominador é zero e o numerador é diferente de zero. Resolvendo
:
Então, existem assíntotas verticais em
e
.
Assíntota Horizontal:
Para encontrar a assíntota horizontal, observamos o comportamento da função quando
tende ao infinito. Como os graus do numerador e denominador são iguais (ambos 2), a assíntota horizontal é dada pela razão dos coeficientes dos termos de maior grau:
Então, há uma assíntota horizontal em
.
Passo 8
Por fim, vamos resumir tudo para fazer o esboço do gráfico:
- Extremo Relativo: Máximo em
, . - Pontos de Inflexão: Nenhum.
- Concavidade:
- Côncavo para baixo em
. - Côncavo para cima em
.
- Côncavo para baixo em
- Assíntotas:
- Verticais em
e . - Horizontal em
.
- Verticais em
Com essas informações, podemos desenhar o gráfico da função, marcando o ponto máximo, as assíntotas e indicando as regiões de concavidade.
Resposta
A função possui um ponto de máximo relativo em
com
. Não há pontos de inflexão. O gráfico é côncavo para baixo no intervalo
e côncavo para cima para
. Existem assíntotas verticais em
e
, e uma assíntota horizontal em
. O esboço do gráfico reflete esses aspectos.
Exercícios relacionados
Encontre
e
Utilize o GeoGebra para fazer o gráfico das curvas abaixo.
.
Determinar
para cada uma das funçöes seguintes:
Exercício 2. (10 pontos) Consideremos a região
, dada por
. Seja
e
o sólido de revolução obtido pela rotação de
ao redor do eixo
e
, respectivamente. Calcule o volume dos sólidos
e
.