Exercício 2. (10 pontos) Consideremos a região
, dada por
. Seja
e
o sólido de revolução obtido pela rotação de
ao redor do eixo
e
, respectivamente. Calcule o volume dos sólidos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume de dois sólidos de revolução,
e
, que são formados ao girar a região
ao redor dos eixos
e
, respectivamente. Vamos usar cálculo de integrais para encontrar esses volumes. Precisaremos entender como aplicar os métodos de discos e cascas cilíndricas para revoluções em torno dos eixos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. Ela é definida por:
Essa inequação descreve uma parábola que abre para baixo. Para saber os limites de integração, vamos encontrar onde
.
Passo 3
Resolvendo a equação quadrática:
Então, a região
está entre
e
.
Passo 4
Volume
(Rotação ao redor do eixo
):
Para calcular o volume de
, usamos o método dos discos. A fórmula geral é:
Onde
é a função superior da região
.
Passo 5
No nosso caso,
e os limites são de
a
. Então:
Passo 6
Vamos expandir a função dentro do quadrado:
Então, a integral fica:
Passo 7
Calculando a integral termo a termo:
Portanto:
Passo 8
Calculando nos limites
e
:
Para :
Para
Simplificando:
Para
:
Simplificando:
Então:
Passo 9
Volume
(Rotação ao redor do eixo
):
Para calcular o volume de
, usamos o método das cascas cilíndricas. A fórmula geral é:
Onde
é a função que define a altura da casca.
Passo 10
No nosso caso,
e os limites são de
a
. Então:
Passo 11
Multiplicando
pela função:
Então, a integral fica:
Passo 12
Calculando a integral termo a termo:
Portanto:
Passo 13
Calculando nos limites
e
:
Para :
Para
Para
:
Então:
Resposta
O volume dos sólidos de revolução são:
Exercícios relacionados
Determinar
para cada uma das funçöes seguintes:
Encontre os extremos relativos das funções usando o teste da segunda derivada, quando aplicável. Em caso contrário, use o teste da derivada primeira. Determine, também, os pontos de inflexão, bem como onde o gráfico é côncavo para cima e/ou côncavo para baixo. Também, encontre as assíntotas horizontal, vertical, caso existam. Por fim, faça o esboço do mesmo.
©
©
Utilize o GeoGebra para fazer o gráfico das curvas abaixo (as figuras obtidas neste exercício são chamadas de limaçons; as obtidas nos itens ©, (h), (m) e ® também são chamadas de cardioides).
.
Exercício 4. (10 pontos) Seja
. Encontre os pontos de máximo local, mínimo local, ou sela, da função.