Exercício 2. (10 pontos) Consideremos a região R, dada por R = {(x, y) | 0 <= y <= -x^2} 4 x - 3. Seja S1 e S2 o sólido de revolução obtido pela rotação de R ao redor do eixo O_x e Oy, respectivamente. Calcule o volume dos sólidos S1 e S2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume de dois sólidos de revolução, S1 e S2, que são formados ao girar a região R ao redor dos eixos O_x e Oy, respectivamente. Vamos usar cálculo de integrais para encontrar esses volumes. Precisaremos entender como aplicar os métodos de discos e cascas cilíndricas para revoluções em torno dos eixos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região R. Ela é definida por:
Essa inequação descreve uma parábola que abre para baixo. Para saber os limites de integração, vamos encontrar onde .

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática:
Então, a região R está entre x = 1 e .

Passo 4

Volume S1 (Rotação ao redor do eixo O_x):
Para calcular o volume de S1, usamos o método dos discos. A fórmula geral é:
Onde f(x) é a função superior da região R.

Passo 5

No nosso caso, e os limites são de x = 1 a . Então:

Passo 6

Vamos expandir a função dentro do quadrado:
Então, a integral fica:

Passo 7

Calculando a integral termo a termo:
Portanto:

Passo 8

Calculando nos limites e x = 1:
Para :
Simplificando:
Para x = 1:
Simplificando:
Então:

Passo 9

Volume S2 (Rotação ao redor do eixo Oy):
Para calcular o volume de S2, usamos o método das cascas cilíndricas. A fórmula geral é:
Onde f(x) é a função que define a altura da casca.

Passo 10

No nosso caso, e os limites são de x = 1 a . Então:

Passo 11

Multiplicando x pela função:
Então, a integral fica:

Passo 12

Calculando a integral termo a termo:
Portanto:

Passo 13

Calculando nos limites e x = 1:
Para :
Para x = 1:
Então:

Resposta

O volume dos sólidos de revolução são:

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