Exercício 2. (10 pontos) Consideremos a região , dada por . Seja e o sólido de revolução obtido pela rotação de ao redor do eixo e , respectivamente. Calcule o volume dos sólidos e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume de dois sólidos de revolução, e , que são formados ao girar a região ao redor dos eixos e , respectivamente. Vamos usar cálculo de integrais para encontrar esses volumes. Precisaremos entender como aplicar os métodos de discos e cascas cilíndricas para revoluções em torno dos eixos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . Ela é definida por:
Essa inequação descreve uma parábola que abre para baixo. Para saber os limites de integração, vamos encontrar onde .

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática:
Então, a região está entre e .

Passo 4

Volume (Rotação ao redor do eixo ):
Para calcular o volume de , usamos o método dos discos. A fórmula geral é:
Onde é a função superior da região .

Passo 5

No nosso caso, e os limites são de a . Então:

Passo 6

Vamos expandir a função dentro do quadrado:
Então, a integral fica:

Passo 7

Calculando a integral termo a termo:
Portanto:

Passo 8

Calculando nos limites e :
Para :
Simplificando:
Para :
Simplificando:
Então:

Passo 9

Volume (Rotação ao redor do eixo ):
Para calcular o volume de , usamos o método das cascas cilíndricas. A fórmula geral é:
Onde é a função que define a altura da casca.

Passo 10

No nosso caso, e os limites são de a . Então:

Passo 11

Multiplicando pela função:
Então, a integral fica:

Passo 12

Calculando a integral termo a termo:
Portanto:

Passo 13

Calculando nos limites e :
Para :
Para :
Então:

Resposta

O volume dos sólidos de revolução são:

Exercícios relacionados

Determinar para cada uma das funçöes seguintes:
Encontre os extremos relativos das funções usando o teste da segunda derivada, quando aplicável. Em caso contrário, use o teste da derivada primeira. Determine, também, os pontos de inflexão, bem como onde o gráfico é côncavo para cima e/ou côncavo para baixo. Também, encontre as assíntotas horizontal, vertical, caso existam. Por fim, faça o esboço do mesmo.
©
Utilize o GeoGebra para fazer o gráfico das curvas abaixo (as figuras obtidas neste exercício são chamadas de limaçons; as obtidas nos itens ©, (h), (m) e ® também são chamadas de cardioides).
.
Exercício 4. (10 pontos) Seja . Encontre os pontos de máximo local, mínimo local, ou sela, da função.