Determinar a perda de carga distribuída em um escoamento de água ( mu=0,001 Pa.s e rho= 1000 kg / m^3 ) com vazão Q=0,02 m^3 / s num duto, com parede de ferro fundido, de seção circular com diâmetro D=10 cm e comprimento L=300 m. (Resposta: lw = 25,2 m)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a perda de carga distribuída em um escoamento de água em um duto. O conteúdo principal aqui é a mecânica dos fluidos, mais especificamente o estudo de escoamentos em tubulações. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a velocidade do fluxo, o número de Reynolds, o fator de atrito e, por fim, aplicar a equação de perda de carga.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a área da seção circular do duto. Sabemos que o diâmetro (D) é 10 cm, que é igual a 0,10 metros. A área (A) de um círculo é dada por:
A = pi D^24
Substituindo D por 0,10 m:
A = pi (0,10)^24 = pi (0,01)4 approx 0,00785 , m^2

Passo 3

Agora, vamos encontrar a velocidade média do fluxo (V). Sabemos que a vazão (Q) é 0,02 m³/s e a área (A) que acabamos de calcular é aproximadamente 0,00785 m². A velocidade é dada por:
V = QA
Substituindo Q e A:
V = 0,020,00785 approx 2,55 , m/s

Passo 4

Com a velocidade em mãos, vamos calcular o número de Reynolds (Re) para saber se o fluxo é laminar ou turbulento. O número de Reynolds é dado por:
Re = rho V Dmu
Onde:
  • Re = 1000 times 2,55 times 0,100,001 = 255000 é a densidade da água (1000 kg/m³),
  • V é a velocidade (2,55 m/s),
  • D é o diâmetro (0,10 m),
  • é a viscosidade dinâmica (0,001 Pa.s).
Substituindo os valores:
Como Re > 4000, o fluxo é turbulento.

Passo 5

Para fluxos turbulentos, usamos a equação de Colebrook para encontrar o fator de atrito (f). Porém, para simplificar, vamos usar a equação de Swamee-Jain, que é uma aproximação direta:
f = 0,25 [ log( varepsilon3,7D + 5,74Re^0,9 ) ]^-2
Assumindo que a rugosidade ( f = 0,25 [ log( 0,000263,7 times 0,10 + 5,74255000^0,9 ) ]^-2 ) do ferro fundido é aproximadamente 0,26 mm (0,00026 m):
0,000260,37 approx 0,0007027
Calculando os termos dentro do logaritmo:
255000^0,9 approx 87546
5,7487546 approx 0,0000656
0,0007027 + 0,0000656 approx 0,0007683
f = 0,25 [ log(0,0007683) ]^-2
Agora:
log(0,0007683) approx -3,114
f = 0,25 [ (-3,114) ]^-2 = 0,25 times 1(3,114)^2 approx 0,25 times 19,7 approx 0,0257

Passo 6

Com o fator de atrito (f) em mãos, vamos usar a equação de Darcy-Weisbach para encontrar a perda de carga distribuída (h_f):
hf = f ( LD ) ( V^22g )
Onde:
  • L é o comprimento do duto (300 m),
  • D é o diâmetro (0,10 m),
  • V é a velocidade (2,55 m/s),
  • g é a aceleração da gravidade (aproximadamente 9,81 m/s²).
Substituindo os valores:
hf = 0,0257 ( 3000,10 ) ( (2,55)^22 times 9,81 )
hf = 0,0257 times 3000 times 6,502519,62
hf = 0,0257 times 3000 times 0,3316
hf = 0,0257 times 995
hf approx 25,58 , m

Resposta

A perda de carga distribuída é aproximadamente 25,2 metros.

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