Determinar A e B para que o plano A x+B y+3 z-5=0 seja perpendicular à reta x-32=5-y3=z+2-2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar os valores de e de modo que o plano seja perpendicular à reta dada. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre vetores normais de planos e vetores diretores de retas, além de usar o produto escalar.

Passo 2

Um plano perpendicular a uma reta significa que o vetor normal do plano é perpendicular ao vetor diretor da reta. O vetor normal do plano é .

Passo 3

Vamos identificar o vetor diretor da reta . Os coeficientes denominadores representam as componentes do vetor diretor da reta. Assim, o vetor diretor é .

Passo 4

Como o vetor normal do plano deve ser perpendicular ao vetor diretor da reta, o produto escalar entre n cdot v = A cdot 2 + B cdot 3 + 3 cdot (-2) = 0 e deve ser zero. O produto escalar é calculado por:

Passo 5

Resolvendo a equação do produto escalar:
2A + 3B - 6 = 0
2A + 3B = 6

Passo 6

Agora, precisamos encontrar valores de A = 6 - 3B2 e que satisfaçam a equação . Como temos duas variáveis e apenas uma equação, existem infinitas soluções que satisfazem essa condição. Podemos expressar uma das variáveis em termos da outra, por exemplo, em função de :

Resposta

Os valores de e devem satisfazer a equação . Assim, qualquer par que satisfaça serve para que o plano seja perpendicular à reta dada.

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Sejam x1, x2 e x3 vetores linearmente independentes de R^n e seja:
y1=x1+x2, y2=x2+x3 e y3=x3+x1
São y1, y2 e y3 linearmente independentes? Demonstre sua resposta.
Seja u um vetor do R^3 perpendicular aos vetores v e w. Sabendo que v e w formam um ângulo de 30^circ e que |u|= 6,|| v |=3 e || w |=3, calcule u cdot(v times w).
Determine se os seguintes vetores são LI ou LD em R^2 :
(-1,2),(1,-2),(2,-4)
Verifique se as retas r e s são concorrentes e, se forem, obtenha o ponto de interseção.
& (1) r:l x=4+lambda y=1-lambda z=1+lambda ( para lambda in R) s:l x=9-4 mu y=2+mu z=2-2 mu ( para mu in R) & (2) r:l x=-4 lambda y=1+8 lambda z=1-2 lambda ( para lambda in R) & s: x-1=y-4=z
(3) r: x-22=y-33=z
s: x=y3=1+z2
(4) r: X=(3,-1,2)+lambda(-2,3,1) (para lambda in R ) s: X=(9,-10,-1)+mu(4,-6,-2) (para mu in R )