Determinar A e B para que o plano A x+B y+3 z-5=0 seja perpendicular à reta x-32=5-y3=z+2-2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar os valores de e de modo que o plano seja perpendicular à reta dada. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre vetores normais de planos e vetores diretores de retas, além de usar o produto escalar.

Passo 2

Um plano perpendicular a uma reta significa que o vetor normal do plano é perpendicular ao vetor diretor da reta. O vetor normal do plano é .

Passo 3

Vamos identificar o vetor diretor da reta . Os coeficientes denominadores representam as componentes do vetor diretor da reta. Assim, o vetor diretor é .

Passo 4

Como o vetor normal do plano deve ser perpendicular ao vetor diretor da reta, o produto escalar entre n cdot v = A cdot 2 + B cdot 3 + 3 cdot (-2) = 0 e deve ser zero. O produto escalar é calculado por:

Passo 5

Resolvendo a equação do produto escalar:
2A + 3B - 6 = 0
2A + 3B = 6

Passo 6

Agora, precisamos encontrar valores de A = 6 - 3B2 e que satisfaçam a equação . Como temos duas variáveis e apenas uma equação, existem infinitas soluções que satisfazem essa condição. Podemos expressar uma das variáveis em termos da outra, por exemplo, em função de :

Resposta

Os valores de e devem satisfazer a equação . Assim, qualquer par que satisfaça serve para que o plano seja perpendicular à reta dada.

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