Determine se os seguintes vetores são LI ou LD em R^2 :
(-1,2),(1,-2),(2,-4)

Passo 1

Então, a gente tem três vetores no espaço bidimensional R^2: (-1,2), (1,-2), (2,-4). A pergunta é para descobrir se esses vetores são Linearmente Independentes (LI) ou Linearmente Dependentes (LD). Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear sobre combinação linear e determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa vetores serem Linearmente Independentes ou Dependentes. Vetores são LI se nenhum vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Se algum vetor puder ser escrito assim, eles são LD.

Passo 3

Como estamos em R^2 e temos três vetores, já sabemos que não podem ser todos LI, porque em R^2 o máximo de vetores LI é 2. Mas vamos confirmar isso.

Passo 4

Vamos verificar se algum dos vetores é múltiplo de outro. Observando os vetores:
  • v1 = (-1,2)
  • v2 = (1,-2)
  • v3 = (2,-4)
Percebemos que v2 = -1 times v1 e v3 = -2 times v1. Isso mostra que todos os vetores são múltiplos entre si.

Passo 5

Como todos os vetores são múltiplos uns dos outros, isso confirma que eles são Linearmente Dependentes. Ou seja, existe uma combinação linear não trivial que resulta no vetor zero.

Resposta

Os vetores (-1,2), (1,-2), (2,-4) são Linearmente Dependentes em R^2.

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