Sejam e vetores linearmente independentes de e seja: e
São e linearmente independentes? Demonstre sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos três vetores e que são linearmente independentes em . A gente definiu novos vetores:
A pergunta é: Será que esses novos vetores e também são linearmente independentes? Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa vetores serem linearmente independentes e usar um pouco de álgebra linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que vetores são linearmente independentes. Basicamente, isso quer dizer que não dá para escrever um dos vetores como uma combinação dos outros. Ou seja, se a única solução para a equação for , então os vetores são linearmente independentes.
Passo 3
Vamos aplicar isso aos nossos vetores e . Vamos supor que existe uma combinação linear deles que dá zero:
Substituindo os 's pelas suas expressões em termos de 's:
Passo 4
Agora, vamos distribuir os coeficientes:
Vamos agrupar os termos semelhantes:
Passo 5
Como e são linearmente independentes, os coeficientes de cada um deles devem ser iguais a zero:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema de equações. Da segunda equação, temos a + c = 0 Rightarrow c = -a . Substituindo na primeira: