Sejam x1, x2 e x3 vetores linearmente independentes de R^n e seja:
y1=x1+x2, y2=x2+x3 e y3=x3+x1
São y1, y2 e y3 linearmente independentes? Demonstre sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos três vetores y1 = x1 + x2, y2 = x2 + x3, y3 = x3 + x1 e que são linearmente independentes em . A gente definiu novos vetores:
A pergunta é: Será que esses novos vetores e também são linearmente independentes? Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa vetores serem linearmente independentes e usar um pouco de álgebra linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que vetores são linearmente independentes. Basicamente, isso quer dizer que não dá para escrever um dos vetores como uma combinação dos outros. Ou seja, se a única solução para a equação for , então os vetores são linearmente independentes.

Passo 3

Vamos aplicar isso aos nossos vetores a cdot y1 + b cdot y2 + c cdot y3 = 0 e a(x1 + x2) + b(x2 + x3) + c(x3 + x1) = 0 . Vamos supor que existe uma combinação linear deles que dá zero:
Substituindo os 's pelas suas expressões em termos de 's:

Passo 4

Agora, vamos distribuir os coeficientes:
a cdot x1 + a cdot x2 + b cdot x2 + b cdot x3 + c cdot x3 + c cdot x1 = 0
Vamos agrupar os termos semelhantes:
(a + c) cdot x1 + (a + b) cdot x2 + (b + c) cdot x3 = 0

Passo 5

Como a + c = 0 a + b = 0 b + c = 0 e são linearmente independentes, os coeficientes de cada um deles devem ser iguais a zero:

Passo 6

Vamos resolver esse sistema de equações. Da segunda equação, temos a + c = 0 Rightarrow c = -a . Substituindo na primeira:
-b + c = 0 Rightarrow -(-a) + (-a) = a - a = 0
Agora, substituindo e na terceira equação:
Tudo se confirma, e a única solução é .

Resposta

Os vetores e são linearmente independentes.

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