Verifique se as retas e s são concorrentes e, se forem, obtenha o ponto de interseção.
(3) r: x-22=y-33=z s: x=y3=1+z2
(4) r: X=(3,-1,2)+lambda(-2,3,1) (para lambda in R ) s: X=(9,-10,-1)+mu(4,-6,-2) (para mu in R )
Passo 1
Beleza, vamos resolver o primeiro caso! A questão pede para verificar se as retas e se intersectam, ou seja, se são concorrentes. Se elas se cruzarem, também precisamos encontrar o ponto de interseção. Para isso, vamos usar o conteúdo de geometria analítica, especificamente sobre equações paramétricas de retas no espaço tridimensional. Vamos precisar igualar as coordenadas das duas retas e resolver o sistema de equações para encontrar os valores dos parâmetros que fazem as retas se cruzarem.
Passo 2
Vamos dar uma olhada nas equações das retas r: x = 4 + lambda y = 1 - lambda z = 1 + lambda (lambda in R) e s: x = 9 - 4mu y = 2 + mu z = 2 - 2mu (mu in R) :
Para descobrir se elas se intersectam, precisamos encontrar valores de e que tornem , , e iguais nas duas retas.
Agora que temos 4 + (-3) = 9 - 4(2) 1 = 9 - 8 1 = 1 e , vamos verificar se essas soluções satisfazem a equação (1):
Como a equação é satisfeita, isso confirma que as retas se intersectam nos valores encontrados.
Passo 6
Agora vamos para o segundo caso! Assim como antes, precisamos verificar se as retas e se cruzam e, se sim, encontrar o ponto de interseção. Utilizaremos novamente as equações das retas e resolveremos o sistema para os parâmetros envolvidos.
Passo 7
Aqui estão as equações das retas r: x = -4lambda y = 1 + 8lambda z = 1 - 2lambda (lambda in R) e s: x - 1 = y - 4 = z :
A reta está dada em uma forma simétrica. Vamos reescrever a equação de em termos paramétricos para facilitar a comparação.
Passo 8
Para a reta x - 11 = y - 41 = z1 = mu (mu in R) , temos:
s: x = 1 + mu y = 4 + mu z = 0 + mu (mu in R)
Então, as equações paramétricas de são:
Passo 9
Agora, igualamos as coordenadas de -4lambda = 1 + mu (1) 1 + 8lambda = 4 + mu (2) 1 - 2lambda = mu (3) e :
Vamos verificar se esses valores satisfazem a equação (2):
1 + 8(-1) = 4 + 3 1 - 8 = 7 -7 neq 7
Como a equação não é satisfeita, isso significa que não existe um ponto comum onde as retas se intersectam.
Passo 12
Vamos para o terceiro caso! Precisamos verificar se as retas e se cruzam e, em caso afirmativo, encontrar o ponto onde isso acontece. Usaremos novamente as equações paramétricas e resolveremos o sistema correspondente.
Passo 13
As equações das retas são:
r: x - 22 = y - 33 = z
s: x = y3 = 1 + z2
Primeiro, vamos reescrever as equações de e em forma paramétrica.
Passo 14
Para a reta x - 22 = lambda y - 33 = lambda z = lambda , seja r: x = 2 + 2lambda y = 3 + 3lambda z = lambda (lambda in R) o parâmetro:
x = mu y3 = mu 1 + z2 = mu
Então, as equações paramétricas de s: x = mu y = 3mu z = 2mu - 1 (mu in R) são:
Para a reta , seja o parâmetro:
Então, as equações paramétricas de são:
Passo 15
Igualando as coordenadas de 2 + 2lambda = mu (1) 3 + 3lambda = 3mu (2) lambda = 2mu - 1 (3) e :
A equação é satisfeita, então as retas se intersectam nos valores encontrados.
Passo 18
Chegamos ao quarto e último caso! Mais uma vez, nossa missão é descobrir se as retas e se cruzam e, se sim, determinar o ponto de interseção. Utilizaremos as equações paramétricas das retas e resolveremos o sistema para os parâmetros envolvidos.
Passo 19
As equações das retas são:
r: X = (3, -1, 2) + lambda(-2, 3, 1) (lambda in R)
s: X = (9, -10, -1) + mu(4, -6, -2) (mu in R)
Vamos escrever as equações paramétricas para e .
Passo 20
Para a reta x = 3 - 2lambda y = -1 + 3lambda z = 2 + lambda (lambda in R) :
x = 9 + 4mu y = -10 - 6mu z = -1 - 2mu (mu in R)
Para a reta :
Passo 21
Igualando as coordenadas de 3 - 2lambda = 9 + 4mu (1) -1 + 3lambda = -10 - 6mu (2) 2 + lambda = -1 - 2mu (3) e :
Vamos resolver esse sistema para encontrar e .
Passo 22
Vamos reescrever as equações para simplificar:
Da equação (1):
-2lambda - 4mu = 6 (1')
Da equação (2):
3lambda + 6mu = -9 (2')
Da equação (3):
lambda + 2mu = -3 (3')
Observamos que a equação (3’) é a metade da equação (2’), então não adiciona nova informação. Vamos usar as equações (1’) e (3’):
Isso indica que as equações são dependentes, ou seja, infinitas soluções podem existir. Vamos utilizar a equação (3’) para expressar lambda = -3 - 2mu em função de :