Verifique se as retas r e s são concorrentes e, se forem, obtenha o ponto de interseção.
& (1) r:l x=4+lambda y=1-lambda z=1+lambda ( para lambda in R) s:l x=9-4 mu y=2+mu z=2-2 mu ( para mu in R) & (2) r:l x=-4 lambda y=1+8 lambda z=1-2 lambda ( para lambda in R) & s: x-1=y-4=z
(3) r: x-22=y-33=z
s: x=y3=1+z2
(4) r: X=(3,-1,2)+lambda(-2,3,1) (para lambda in R ) s: X=(9,-10,-1)+mu(4,-6,-2) (para mu in R )

Passo 1

Beleza, vamos resolver o primeiro caso! A questão pede para verificar se as retas e se intersectam, ou seja, se são concorrentes. Se elas se cruzarem, também precisamos encontrar o ponto de interseção. Para isso, vamos usar o conteúdo de geometria analítica, especificamente sobre equações paramétricas de retas no espaço tridimensional. Vamos precisar igualar as coordenadas das duas retas e resolver o sistema de equações para encontrar os valores dos parâmetros que fazem as retas se cruzarem.

Passo 2

Vamos dar uma olhada nas equações das retas r: x = 4 + lambda y = 1 - lambda z = 1 + lambda (lambda in R) e s: x = 9 - 4mu y = 2 + mu z = 2 - 2mu (mu in R) :
Para descobrir se elas se intersectam, precisamos encontrar valores de e que tornem , , e iguais nas duas retas.

Passo 3

Vamos igualar as coordenadas correspondentes:
4 + lambda = 9 - 4mu (1) 1 - lambda = 2 + mu (2) 1 + lambda = 2 - 2mu (3)
Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar e .

Passo 4

Vamos começar resolvendo a equação (2):
1 - lambda = 2 + mu Rightarrow -lambda - mu = 1 (4)
Agora, da equação (3):
1 + lambda = 2 - 2mu Rightarrow lambda + 2mu = 1 (5)
Temos agora um sistema de duas equações:
-lambda - mu = 1 (4) lambda + 2mu = 1 (5)
Vamos somar as equações (4) e (5):
(-lambda - mu) + (lambda + 2mu) = 1 + 1 Rightarrow mu = 2
Agora, substituindo lambda + 2(2) = 1 Rightarrow lambda + 4 = 1 Rightarrow lambda = -3 na equação (5):

Passo 5

Agora que temos 4 + (-3) = 9 - 4(2) 1 = 9 - 8 1 = 1 e , vamos verificar se essas soluções satisfazem a equação (1):
Como a equação é satisfeita, isso confirma que as retas se intersectam nos valores encontrados.

Passo 6

Agora vamos para o segundo caso! Assim como antes, precisamos verificar se as retas e se cruzam e, se sim, encontrar o ponto de interseção. Utilizaremos novamente as equações das retas e resolveremos o sistema para os parâmetros envolvidos.

Passo 7

Aqui estão as equações das retas r: x = -4lambda y = 1 + 8lambda z = 1 - 2lambda (lambda in R) e s: x - 1 = y - 4 = z :
A reta está dada em uma forma simétrica. Vamos reescrever a equação de em termos paramétricos para facilitar a comparação.

Passo 8

Para a reta x - 11 = y - 41 = z1 = mu (mu in R) , temos:
s: x = 1 + mu y = 4 + mu z = 0 + mu (mu in R)
Então, as equações paramétricas de são:

Passo 9

Agora, igualamos as coordenadas de -4lambda = 1 + mu (1) 1 + 8lambda = 4 + mu (2) 1 - 2lambda = mu (3) e :
Vamos resolver esse sistema para encontrar e .

Passo 10

Vamos começar pela equação (3):
1 - 2lambda = mu (3)
Agora, substituímos -4lambda = 1 + (1 - 2lambda) -4lambda = 2 - 2lambda -4lambda + 2lambda = 2 -2lambda = 2 lambda = -1 na equação (1):
1 - 2(-1) = mu 1 + 2 = mu mu = 3
Agora, substituindo na equação (3):

Passo 11

Vamos verificar se esses valores satisfazem a equação (2):
1 + 8(-1) = 4 + 3 1 - 8 = 7 -7 neq 7
Como a equação não é satisfeita, isso significa que não existe um ponto comum onde as retas se intersectam.

Passo 12

Vamos para o terceiro caso! Precisamos verificar se as retas e se cruzam e, em caso afirmativo, encontrar o ponto onde isso acontece. Usaremos novamente as equações paramétricas e resolveremos o sistema correspondente.

Passo 13

As equações das retas são:
r: x - 22 = y - 33 = z
s: x = y3 = 1 + z2
Primeiro, vamos reescrever as equações de e em forma paramétrica.

Passo 14

Para a reta x - 22 = lambda y - 33 = lambda z = lambda , seja r: x = 2 + 2lambda y = 3 + 3lambda z = lambda (lambda in R) o parâmetro:
x = mu y3 = mu 1 + z2 = mu
Então, as equações paramétricas de s: x = mu y = 3mu z = 2mu - 1 (mu in R) são:
Para a reta , seja o parâmetro:
Então, as equações paramétricas de são:

Passo 15

Igualando as coordenadas de 2 + 2lambda = mu (1) 3 + 3lambda = 3mu (2) lambda = 2mu - 1 (3) e :
Vamos resolver esse sistema para encontrar e .

Passo 16

Vamos começar pela equação (1):
2 + 2lambda = mu (1)
Agora, substituímos 3 + 3lambda = 3(2 + 2lambda) 3 + 3lambda = 6 + 6lambda 3 - 6 = 6lambda - 3lambda -3 = 3lambda lambda = -1 na equação (2):
2 + 2(-1) = mu 2 - 2 = mu mu = 0
Agora, substituindo na equação (1):

Passo 17

Vamos verificar com a equação (3):
lambda = 2mu - 1 -1 = 2(0) - 1 -1 = -1
A equação é satisfeita, então as retas se intersectam nos valores encontrados.

Passo 18

Chegamos ao quarto e último caso! Mais uma vez, nossa missão é descobrir se as retas e se cruzam e, se sim, determinar o ponto de interseção. Utilizaremos as equações paramétricas das retas e resolveremos o sistema para os parâmetros envolvidos.

Passo 19

As equações das retas são:
r: X = (3, -1, 2) + lambda(-2, 3, 1) (lambda in R)
s: X = (9, -10, -1) + mu(4, -6, -2) (mu in R)
Vamos escrever as equações paramétricas para e .

Passo 20

Para a reta x = 3 - 2lambda y = -1 + 3lambda z = 2 + lambda (lambda in R) :
x = 9 + 4mu y = -10 - 6mu z = -1 - 2mu (mu in R)
Para a reta :

Passo 21

Igualando as coordenadas de 3 - 2lambda = 9 + 4mu (1) -1 + 3lambda = -10 - 6mu (2) 2 + lambda = -1 - 2mu (3) e :
Vamos resolver esse sistema para encontrar e .

Passo 22

Vamos reescrever as equações para simplificar:
Da equação (1):
-2lambda - 4mu = 6 (1')
Da equação (2):
3lambda + 6mu = -9 (2')
Da equação (3):
lambda + 2mu = -3 (3')
Observamos que a equação (3’) é a metade da equação (2’), então não adiciona nova informação. Vamos usar as equações (1’) e (3’):
Multiplicando a equação (3’) por 2:
2lambda + 4mu = -6 (4)
Agora, somando a equação (1’) e a equação (4):
(-2lambda - 4mu) + (2lambda + 4mu) = 6 + (-6) 0 = 0
Isso indica que as equações são dependentes, ou seja, infinitas soluções podem existir. Vamos utilizar a equação (3’) para expressar lambda = -3 - 2mu em função de :

Passo 23

Agora, substituímos -2(-3 - 2mu) - 4mu = 6 6 + 4mu - 4mu = 6 6 = 6 na equação (1’):
A equação é satisfeita para qualquer valor de , o que significa que as retas são coincidentes, ou seja, são a mesma reta.

Resposta

As retas e são coincidentes, ou seja, pertencem à mesma linha e possuem infinitos pontos de interseção.

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