Determinar o polinômio de interpolação de Lagrange para a função conhecida pelos pontos tabelados abaixo e o resultado em :
0
0
0
1
1
1
2
2
4
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o polinômio de interpolação de Lagrange para os pontos dados na tabela e, depois, calcular o valor desse polinômio em .
O que é interpolação de Lagrange?
É um método para encontrar um polinômio que passa exatamente por um conjunto de pontos dados. No nosso caso, temos três pontos, então vamos buscar um polinômio de grau 2 (quadrático).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula geral do polinômio de Lagrange. Para pontos, o polinômio é dado por:
Onde cada é o polinômio de base de Lagrange definido por:
No nosso caso, temos 3 pontos (), então vamos calcular , e .
Passo 3
Vamos calcular :
Passo 4
Agora, :
Passo 5
E por fim, :
Passo 6
Agora que temos os polinômios de base, vamos montar o polinômio de interpolação :