Determinar o polinômio de interpolação de Lagrange para a função conhecida pelos pontos tabelados abaixo e o resultado em :
0 0 0
1 1 1
2 2 4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o polinômio de interpolação de Lagrange para os pontos dados na tabela e, depois, calcular o valor desse polinômio em .
O que é interpolação de Lagrange?
É um método para encontrar um polinômio que passa exatamente por um conjunto de pontos dados. No nosso caso, temos três pontos, então vamos buscar um polinômio de grau 2 (quadrático).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula geral do polinômio de Lagrange. Para pontos, o polinômio é dado por:
Onde cada é o polinômio de base de Lagrange definido por:
No nosso caso, temos 3 pontos ( ), então vamos calcular , e .

Passo 3

Vamos calcular :

Passo 4

Agora, :

Passo 5

E por fim, :

Passo 6

Agora que temos os polinômios de base, vamos montar o polinômio de interpolação :
Substituindo os valores :

Passo 7

Vamos substituir e :
Simplificando:

Passo 8

Prontinho! Nosso polinômio de interpolação é:
Agora, vamos calcular :

Resposta

O valor de é 0,25.

Exercícios relacionados

Use a definição para determinar as séries de Maclaurin das funções abaixo fornecendo seus intervalos de convergência:
Determine, se possível, as constantes e , modo que seja contínua em , sendo:
b)
Calcular a integral de no intervalo usando a regra do retângulo.