Determinar o polinômio de interpolação de Lagrange para a função conhecida pelos pontos tabelados abaixo e o resultado em
:
|
|
|
---|---|---|
0 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 |
2 | 2 | 4 |
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o polinômio de interpolação de Lagrange para os pontos dados na tabela e, depois, calcular o valor desse polinômio em
.
O que é interpolação de Lagrange?
É um método para encontrar um polinômio que passa exatamente por um conjunto de pontos dados. No nosso caso, temos três pontos, então vamos buscar um polinômio de grau 2 (quadrático).
É um método para encontrar um polinômio que passa exatamente por um conjunto de pontos dados. No nosso caso, temos três pontos, então vamos buscar um polinômio de grau 2 (quadrático).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula geral do polinômio de Lagrange. Para
pontos, o polinômio
é dado por:
Onde cada
é o polinômio de base de Lagrange definido por:
No nosso caso, temos 3 pontos (
), então vamos calcular
,
e
.
Passo 3
Vamos calcular
:
Passo 4
Agora,
:
Passo 5
E por fim,
:
Passo 6
Agora que temos os polinômios de base, vamos montar o polinômio de interpolação
:
Substituindo os valores
:
Passo 7
Vamos substituir
e
:
Simplificando:
Passo 8
Prontinho! Nosso polinômio de interpolação é:
Agora, vamos calcular
:
Resposta
O valor de
é 0,25.