Determinar o polinômio interpolador de Lagrange para a função conhecida pelos pontos da tabela abaixo:
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0 | -1 | 4 |
1 | 0 | 1 |
2 | 2 | 1 |
3 | 3 | 16 |
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar o polinômio interpolador de Lagrange pra uma função que é conhecida nos pontos da tabela que você mandou. Isso significa que queremos um polinômio que passe exatamente por esses pontos. Pra resolver isso, vamos usar a fórmula de Lagrange, que ajuda a construir esse polinômio de forma sistemática.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do que é o polinômio interpolador de Lagrange. Ele é uma combinação de polinômios básicos chamados de polinômios de Lagrange, denotados por
. A ideia é que cada
vale 1 em
e 0 nos outros
. Assim, o polinômio final será:
Onde
é o número de pontos menos um.
Passo 3
Vamos identificar nossos pontos:
Temos 4 pontos (
), então nosso polinômio será de grau 3 no máximo.
Passo 4
Agora, vamos calcular cada
usando a fórmula:
Vamos fazer isso para cada
:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 5
Agora que temos os
, vamos montar o polinômio
:
Substituindo os valores:
Passo 6
Vamos simplificar cada termo:
Simplificando as frações:
Agora, vamos expandir e simplificar cada polinômio:
Distribuindo:
Multiplicando pelas frações:
Agora, somamos os termos semelhantes:
-
: -
: -
: - Termo constante: Não há.
Então, o polinômio fica:
Resposta
O polinômio interpolador de Lagrange é
.