Determinar o polinômio interpolador de Lagrange para a função conhecida pelos pontos da tabela abaixo:
i xi yi
0 -1 4
1 0 1
2 2 1
3 3 16

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar o polinômio interpolador de Lagrange pra uma função que é conhecida nos pontos da tabela que você mandou. Isso significa que queremos um polinômio que passe exatamente por esses pontos. Pra resolver isso, vamos usar a fórmula de Lagrange, que ajuda a construir esse polinômio de forma sistemática.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do que é o polinômio interpolador de Lagrange. Ele é uma combinação de polinômios básicos chamados de polinômios de Lagrange, denotados por . A ideia é que cada vale 1 em e 0 nos outros . Assim, o polinômio final será:
Onde é o número de pontos menos um.

Passo 3

Vamos identificar nossos pontos:
Temos 4 pontos ( ), então nosso polinômio será de grau 3 no máximo.

Passo 4

Agora, vamos calcular cada usando a fórmula:
Vamos fazer isso para cada :

Para :

Para :

Para :

Para :

Passo 5

Agora que temos os , vamos montar o polinômio :
Substituindo os valores:

Passo 6

Vamos simplificar cada termo:
Simplificando as frações:
Agora, vamos expandir e simplificar cada polinômio:
Distribuindo:
Multiplicando pelas frações:
Agora, somamos os termos semelhantes:
  • :
  • :
  • :
  • Termo constante: Não há.
Então, o polinômio fica:

Resposta

O polinômio interpolador de Lagrange é .

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