Use a definição para determinar as séries de Maclaurin das funções abaixo fornecendo seus intervalos de convergência:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Maclaurin para a função
usando a definição. Isso faz parte do conteúdo de séries de Taylor e Maclaurin na matemática. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas da função
e avaliar essas derivadas em
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Maclaurin. É uma série de potências que expande uma função ao redor de
. A fórmula geral é:
Aqui,
representa a
-ésima derivada de
avaliada em
, e
é o fatorial de
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
e avaliá-las em
:
Percebemos que as derivadas se repetem a cada 4 derivações. Agora, avaliando em
:
Passo 4
Agora, vamos montar a série de Maclaurin usando os valores que encontramos:
Substituindo os valores:
Simplificando, temos:
Ou seja:
Passo 5
Para determinar o intervalo de convergência, observamos que a série de Maclaurin para
é uma série de potências com raio de convergência infinito. Isso significa que a série converge para todo valor real de
.
Resposta
A série de Maclaurin para
é:
E o intervalo de convergência é
.