Use a definição para determinar as séries de Maclaurin das funções abaixo fornecendo seus intervalos de convergência:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Maclaurin para a função usando a definição. Isso faz parte do conteúdo de séries de Taylor e Maclaurin na matemática. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas da função e avaliar essas derivadas em .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Maclaurin. É uma série de potências que expande uma função ao redor de . A fórmula geral é:
Aqui, representa a -ésima derivada de avaliada em , e é o fatorial de .
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de e avaliá-las em :
Percebemos que as derivadas se repetem a cada 4 derivações. Agora, avaliando em :
Passo 4
Agora, vamos montar a série de Maclaurin usando os valores que encontramos:
Substituindo os valores:
Simplificando, temos:
Ou seja:
Passo 5
Para determinar o intervalo de convergência, observamos que a série de Maclaurin para é uma série de potências com raio de convergência infinito. Isso significa que a série converge para todo valor real de .