Use a definição para determinar as séries de Maclaurin das funções abaixo fornecendo seus intervalos de convergência:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Maclaurin para a função usando a definição. Isso faz parte do conteúdo de séries de Taylor e Maclaurin na matemática. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas da função e avaliar essas derivadas em .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Maclaurin. É uma série de potências que expande uma função ao redor de . A fórmula geral é:
Aqui, representa a -ésima derivada de avaliada em , e é o fatorial de .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de e avaliá-las em :
Percebemos que as derivadas se repetem a cada 4 derivações. Agora, avaliando em :

Passo 4

Agora, vamos montar a série de Maclaurin usando os valores que encontramos:
Substituindo os valores:
Simplificando, temos:
Ou seja:

Passo 5

Para determinar o intervalo de convergência, observamos que a série de Maclaurin para é uma série de potências com raio de convergência infinito. Isso significa que a série converge para todo valor real de .

Resposta

A série de Maclaurin para é:
E o intervalo de convergência é .

Exercícios relacionados

Determine, se possível, as constantes e , modo que seja contínua em , sendo:
b)
Calcule a derivada da função dada:
Determinar o polinômio de interpolação de Lagrange para a função conhecida pelos pontos tabelados abaixo e o resultado em :
0 0 0
1 1 1
2 2 4