Determine, se possível, as constantes a, b e c em R, modo que f seja contínua em x_0, sendo:
b) f(x) = { 3x - 3, x > -3; ax, x = -3; bx^2 + 1, x < -3 } (x0 = -3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é descobrir os valores das constantes , e que fazem a função ser contínua no ponto . A matéria que entra nisso é continuidade de funções e limites. Para resolver, vamos precisar entender como calcular os limites laterais (pela direita e pela esquerda) e garantir que eles sejam iguais ao valor da função em .

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a função nos diferentes intervalos:
Para garantir a continuidade em , precisamos que:
Isso significa que o limite de quando se aproxima de pela direita (valores maiores que ) deve ser igual ao limite quando se aproxima de pela esquerda (valores menores que ), e ambos devem ser iguais ao valor de .

Passo 3

Vamos calcular o limite pela direita, ou seja, quando se aproxima de vindo de valores maiores que :
Então, o limite pela direita é .

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite pela esquerda, quando se aproxima de vindo de valores menores que :
Então, o limite pela esquerda é .

Passo 5

Sabemos que para a função ser contínua em , esses limites precisam ser iguais ao valor da função em :
Substituindo os valores que encontramos:
Vamos resolver essas duas equações para achar e .

Passo 6

Primeiro, resolvendo para :
Agora, resolvendo para :

Resposta

Para que a função seja contínua em , as constantes devem ser:
O valor de não está envolvido na definição da função dada, então não precisamos determiná-lo.

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