Encontrar um vetor ortogonal ao plano determinado pelos pontos P, Q e R e calcular a área do triângulo P Q R, dado que:
a) P(2,3,0), Q(0,2,1), R(2,0,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um vetor que seja ortogonal ao plano formado pelos pontos P(2,3,0), Q(0,2,1) e R(2,0,2). Além disso, vamos calcular a área do triângulo formado por esses três pontos. Para isso, vamos usar conceitos de vetores e produto vetorial (ou produto cruzado). Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um vetor ser ortogonal a um plano. Um vetor ortogonal ao plano é um vetor que forma um ângulo de 90 graus com qualquer vetor que esteja no plano. Para encontrar esse vetor, vamos precisar de dois vetores que estejam no plano e, em seguida, calcular o produto vetorial desses dois vetores.

Passo 3

Vamos começar encontrando dois vetores que estão no plano formado pelos pontos P, Q e R. Podemos fazer isso calculando os vetores PQ e PR.
O vetor PQ é obtido subtraindo as coordenadas de P das coordenadas de Q:
PQ = Q - P = (0-2, 2-3, 1-0) = (-2, -1, 1)
Já o vetor PR é obtido subtraindo as coordenadas de P das coordenadas de R:
PR = R - P = (2-2, 0-3, 2-0) = (0, -3, 2)

Passo 4

Agora que temos os vetores PQ e PR, vamos calcular o produto vetorial entre eles. O produto vetorial de dois vetores resulta em um terceiro vetor que é ortogonal aos dois vetores originais, ou seja, ortogonal ao plano formado por PQ e PR.
A fórmula do produto vetorial é:
PQ times PR = i & j & k -2 & -1 & 1 0 & -3 & 2
Calculando o determinante:
PQ times PR = i((-1)(2) - (1)(-3)) - j((-2)(2) - (1)(0)) + k((-2)(-3) - (-1)(0))
= i(-2 + 3) - j(-4 - 0) + k(6 - 0)
= i(1) - j(-4) + k(6)
= (1, 4, 6)
Então, o vetor ortogonal ao plano é (1, 4, 6).

Passo 5

Agora, vamos calcular a área do triângulo PQR. A área de um triângulo formado por dois vetores pode ser calculada como metade da magnitude do produto vetorial desses vetores.
Já temos o produto vetorial PQ × PR = (1, 4, 6). Vamos calcular a magnitude desse vetor.
A fórmula da magnitude é:
|PQ times PR| = raiz1^2 + 4^2 + 6^2 = raiz1 + 16 + 36 = raiz53
Então, a área do triângulo é:
Área = 12 |PQ times PR| = 12 raiz53 Á

Resposta

Um vetor ortogonal ao plano é (1, 4, 6) e a área do triângulo é unidades quadradas.

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