Determinar para que o ponto A pertença ao plano BCD.
Dados: .
Resp.:
SUGESTÃO
Faça
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o valor de de forma que o ponto esteja no plano formado pelos pontos , e . Isso envolve geometria analítica no espaço tridimensional. Para resolver, vamos usar o conceito de produto misto que nos ajuda a verificar se quatro pontos estão coplanares.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que se o ponto está no plano , então o volume do paralelepípedo formado pelos vetores , e deve ser zero. Esse volume é dado pelo produto misto desses vetores. Matemáticamente, isso é expresso pela equação:
Passo 3
Vamos calcular os vetores , e :
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto vetorial :
Calculando o determinante:
Simplificando cada componente:
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto escalar desse resultado com o vetor :
Simplificando:
Passo 6
Como o volume deve ser zero para que os pontos estejam coplanares, temos: