Determinar para que o ponto A pertença ao plano BCD.
Dados: .
Resp.:
SUGESTÃO
Faça

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o valor de de forma que o ponto esteja no plano formado pelos pontos , e . Isso envolve geometria analítica no espaço tridimensional. Para resolver, vamos usar o conceito de produto misto que nos ajuda a verificar se quatro pontos estão coplanares.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que se o ponto está no plano , então o volume do paralelepípedo formado pelos vetores , e deve ser zero. Esse volume é dado pelo produto misto desses vetores. Matemáticamente, isso é expresso pela equação:

Passo 3

Vamos calcular os vetores , e :

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto vetorial :
Calculando o determinante:
Simplificando cada componente:

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar desse resultado com o vetor :
Simplificando:

Passo 6

Como o volume deve ser zero para que os pontos estejam coplanares, temos:
Multiplicando ambos os lados por 6:
Resolvendo para :

Resposta

O valor de que faz o ponto pertencer ao plano é .

Exercícios relacionados

Determine as equações das parábolas abaixo.
e) Foco e diretriz .
e . Determinar:
a) ;
b) e .
c) uma base e a dimensão de
Encontre e tais que
(a)
(b)
Esboce o gráfico e determine a excentricidade da elipse .