Determinar para que o ponto A pertença ao plano BCD.
Dados: .
Resp.:
SUGESTÃO
Faça
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o valor de de forma que o ponto esteja no plano formado pelos pontos , e . Isso envolve geometria analítica no espaço tridimensional. Para resolver, vamos usar o conceito de produto misto que nos ajuda a verificar se quatro pontos estão coplanares.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que se o ponto está no plano , então o volume do paralelepípedo formado pelos vetores , e deve ser zero. Esse volume é dado pelo produto misto desses vetores. Matemáticamente, isso é expresso pela equação:
Passo 3
Vamos calcular os vetores , e :
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto vetorial :
Calculando o determinante:
BA times CA = i cdot (x + 1 - 6x + 24) - j cdot (8x + 8 - 4x + 16) + k cdot (48 - 4)
Simplificando cada componente:
BA times CA = i cdot (-5x + 25) - j cdot (4x + 24) + k cdot 44
BA times CA = (-5x + 25)i - (4x + 24)j + 44k
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto escalar desse resultado com o vetor (BA times CA) cdot DA = (-5x + 25)(1) + (-4x - 24)(-4) + 44(x - 4) :
-5x + 25 + 16x + 96 + 44x - 176
Simplificando:
(-5x + 16x + 44x) + (25 + 96 - 176) = 55x - 55
Passo 6
Como o volume 16 (55x - 55) = 0 deve ser zero para que os pontos estejam coplanares, temos: