Determinar x para que o ponto A pertença ao plano BCD.
Dados: A=(4,5, x), B=(-4,4,4), C=(0,-1,-1), D=(3,9,4).
Resp.: x=1
SUGESTÃO
Faça Vt=16(B-A) x(C-A) cdot(D-A)=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o valor de de forma que o ponto esteja no plano formado pelos pontos , e . Isso envolve geometria analítica no espaço tridimensional. Para resolver, vamos usar o conceito de produto misto que nos ajuda a verificar se quatro pontos estão coplanares.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que se o ponto Vt = 16 (BA times CA) cdot DA = 0 está no plano , então o volume do paralelepípedo formado pelos vetores , e deve ser zero. Esse volume é dado pelo produto misto desses vetores. Matemáticamente, isso é expresso pela equação:

Passo 3

Vamos calcular os vetores BA = A - B = (4 - (-4), 5 - 4, x - 4) = (8, 1, x - 4) , CA = A - C = (4 - 0, 5 - (-1), x - (-1)) = (4, 6, x + 1) e DA = A - D = (4 - 3, 5 - 9, x - 4) = (1, -4, x - 4) :

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto vetorial BA times CA = i & j & k 8 & 1 & x - 4 4 & 6 & x + 1 :
BA times CA = i cdot (1 cdot (x + 1) - (x - 4) cdot 6) - j cdot (8 cdot (x + 1) - (x - 4) cdot 4) + k cdot (8 cdot 6 - 1 cdot 4)
Calculando o determinante:
BA times CA = i cdot (x + 1 - 6x + 24) - j cdot (8x + 8 - 4x + 16) + k cdot (48 - 4)
Simplificando cada componente:
BA times CA = i cdot (-5x + 25) - j cdot (4x + 24) + k cdot 44
BA times CA = (-5x + 25)i - (4x + 24)j + 44k

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar desse resultado com o vetor (BA times CA) cdot DA = (-5x + 25)(1) + (-4x - 24)(-4) + 44(x - 4) :
-5x + 25 + 16x + 96 + 44x - 176
Simplificando:
(-5x + 16x + 44x) + (25 + 96 - 176) = 55x - 55

Passo 6

Como o volume 16 (55x - 55) = 0 deve ser zero para que os pontos estejam coplanares, temos:
55x - 55 = 0
Multiplicando ambos os lados por 6:
55x = 55 implies x = 1
Resolvendo para :

Resposta

O valor de que faz o ponto pertencer ao plano é .

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