Determine as equações das parábolas abaixo.
e) Foco F=(-1,2) e diretriz y=-2.

Passo 1

Beleza! A gente precisa encontrar a equação de uma parábola que tem o foco em e a diretriz . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a definição de parábola como o conjunto de pontos que estão equidistantes do foco e da diretriz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de parábola: é o conjunto de pontos tais que a distância desse ponto até o foco é igual à distância desse ponto até a diretriz.

Passo 3

Vamos calcular a distância de um ponto Distância = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 até o foco Distância até o foco = raiz(x - (-1))^2 + (y - 2)^2 = raiz(x + 1)^2 + (y - 2)^2 . A fórmula da distância entre dois pontos e é:
â
Aplicando isso, temos:
âé

Passo 4

Agora, vamos calcular a distância do ponto Distância até a diretriz = |y - (-2)| = |y + 2| até a diretriz . Como a diretriz é uma reta horizontal, a distância de um ponto até ela é a diferença absoluta das coordenadas y:
âé

Passo 5

Segundo a definição da parábola, essas duas distâncias devem ser iguais. Então, montamos a seguinte equação:
raiz(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = |y + 2|

Passo 6

Para facilitar, vamos eliminar a raiz e o valor absoluto elevando ambos os lados ao quadrado:
(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = (y + 2)^2

Passo 7

Agora, vamos expandir os termos:
(x + 1)^2 + y^2 - 4y + 4 = y^2 + 4y + 4

Passo 8

Vamos simplificar a equação cancelando (x + 1)^2 - 4y = 4y dos dois lados e subtraindo 4 de ambos os lados:

Passo 9

Somando (x + 1)^2 = 8y em ambos os lados para isolar :

Resposta

A equação da parábola é:
(x + 1)^2 = 8y

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