Determine as equações das parábolas abaixo.
e) Foco e diretriz .
Passo 1
Beleza! A gente precisa encontrar a equação de uma parábola que tem o foco em e a diretriz . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a definição de parábola como o conjunto de pontos que estão equidistantes do foco e da diretriz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição de parábola: é o conjunto de pontos tais que a distância desse ponto até o foco é igual à distância desse ponto até a diretriz.
Passo 3
Vamos calcular a distância de um ponto até o foco . A fórmula da distância entre dois pontos e é:
Aplicando isso, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular a distância do ponto até a diretriz . Como a diretriz é uma reta horizontal, a distância de um ponto até ela é a diferença absoluta das coordenadas y:
Passo 5
Segundo a definição da parábola, essas duas distâncias devem ser iguais. Então, montamos a seguinte equação:
Passo 6
Para facilitar, vamos eliminar a raiz e o valor absoluto elevando ambos os lados ao quadrado:
Passo 7
Agora, vamos expandir os termos:
Passo 8
Vamos simplificar a equação cancelando dos dois lados e subtraindo 4 de ambos os lados: