F(x, y, z)=(x+y, z+y, z) e G(x, y, z)=(x+2 y, y-z, x+2 z). Determinar:
a) F circ G;
b) Ker(F circ G) e Im(G circ F).
c) uma base e a dimensão de Ker(F^2 circ G)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas funções, e , definidas em . O exercício pede para a gente fazer a composição dessas funções, encontrar o núcleo e a imagem delas compostas, e também determinar uma base e a dimensão de um núcleo específico. Para isso, vamos precisar entender como compor funções, calcular o núcleo ( ) e a imagem ( ) das transformações lineares.

Passo 2

Parte a: Determinar F(x, y, z) = (x + y, z + y, z)
A composição G(x, y, z) = (x + 2y, y - z, x + 2z) significa que primeiro aplicamos G(x, y, z) = (x + 2y, y - z, x + 2z) e depois F(G(x, y, z)) = F(x + 2y, y - z, x + 2z) no resultado. Vamos fazer isso passo a passo.
Funções dadas:
= ((x + 2y) + (y - z), (x + 2z) + (y - z), x + 2z)
= (x + 3y - z, x + y + 2z - z, x + 2z)
Composição = (x + 3y - z, x + y + z, x + 2z) :
Primeiro, aplicamos :
Agora, aplicamos no resultado de :

Passo 3

Parte b: Determinar x + 3y - z = 0 x + y + z = 0 x + 2z = 0 e -2z + y + z = 0
Vamos primeiro encontrar o núcleo de y - z = 0 , ou seja, o conjunto de vetores que, quando aplicados em y = z , resultam no vetor zero.
Encontrando -2z + 3z - z = 0 :
Temos que resolver 0 = 0 :
(x, y, z) = (-2z, z, z) = z(-2, 1, 1)
Resolvendo esse sistema:
  1. Da terceira equação: ker(F circ G) = z(-2, 1, 1) | z in R
  2. Substituindo F(x, y, z) = (x + y, z + y, z) na segunda equação:
G(F(x, y, z)) = G(x + y, z + y, z)
= ((x + y) + 2(z + y), (z + y) - z, (x + y) + 2z)
= (x + y + 2z + 2y, y, x + y + 2z)
  1. Substituindo = (x + 3y + 2z, y, x + y + 2z) e (x + 3y + 2z, y, x + y + 2z) na primeira equação:
Im(G circ F) = x + 3y + 2z y x + y + 2z g| x, y, z in R
Portanto, as soluções são parametrizadas por . Podemos escrever:
Então:
Agora, vamos encontrar . Primeiro, precisamos encontrar .
Composição :
Primeiro, aplicamos :
Agora, aplicamos no resultado de :
Encontrando :
A imagem é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos pela aplicação de . Observamos que está dado por:
Podemos escrever isso como:
Podemos ver que os vetores da imagem são combinações lineares dos vetores , e , mas na verdade, é múltiplo de , então a imagem é gerada por e .

Passo 4

Parte c: Determinar uma base e a dimensão de F(x, y, z) = (x + y, z + y, z)
Primeiro, vamos entender o que significa F(F(x, y, z)) = F(x + y, z + y, z) . Isso significa aplicar = ((x + y) + (z + y), z + (z + y), z) duas vezes: = (x + 2y + z, 2z + y, z) .
Calculando F^2 circ G (x, y, z) = F^2(G(x, y, z)) :
Primeiro, aplicamos G(x, y, z) = (x + 2y, y - z, x + 2z) :
F^2(G(x, y, z)) = F^2(x + 2y, y - z, x + 2z)
Agora, aplicamos = (x + 2y + 2(y - z) + (x + 2z), 2(x + 2z) + (y - z), x + 2z) novamente:
= (x + 2y + 2y - 2z + x + 2z, 2x + 4z + y - z, x + 2z)
= (2x + 4y, 2x + y + 3z, x + 2z)
2x + 4y = 0 2x + y + 3z = 0 x + 2z = 0
Agora, vamos compor com 2(-2z) + 4y = 0 :
-4z + 4y = 0
Primeiro, aplicamos y = z :
2(-2z) + z + 3z = 0
Agora, aplicamos -4z + z + 3z = 0 no resultado de 0 = 0 :
(x, y, z) = (-2z, z, z) = z(-2, 1, 1)
ker(F^2 circ G) = z(-2, 1, 1) | z in R
Encontrando :
Vamos resolver :
Resolvendo o sistema:
  1. Da terceira equação:
  2. Substituindo na primeira equação:
  1. Substituindo e na segunda equação:
Portanto, as soluções são parametrizadas por :
Então:
Base e dimensão:
  • Base:
  • Dimensão: 1

Resposta

a) ker(F circ G) = z(-2, 1, 1) | z in R
b)
Im(G circ F) = (x + 3y + 2z, y, x + y + 2z) | x, y, z in R
c)
  • Base de :
  • Dimensão: 1

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