e . Determinar:
a) ;
b) e .
c) uma base e a dimensão de

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas funções, e , definidas em . O exercício pede para a gente fazer a composição dessas funções, encontrar o núcleo e a imagem delas compostas, e também determinar uma base e a dimensão de um núcleo específico. Para isso, vamos precisar entender como compor funções, calcular o núcleo ( ) e a imagem ( ) das transformações lineares.

Passo 2

Parte a: Determinar
A composição significa que primeiro aplicamos e depois no resultado. Vamos fazer isso passo a passo.
Funções dadas:
Composição :
Primeiro, aplicamos :
Agora, aplicamos no resultado de :

Passo 3

Parte b: Determinar e
Vamos primeiro encontrar o núcleo de , ou seja, o conjunto de vetores que, quando aplicados em , resultam no vetor zero.
Encontrando :
Temos que resolver :
Resolvendo esse sistema:
  1. Da terceira equação:
  2. Substituindo na segunda equação:
  1. Substituindo e na primeira equação:
Portanto, as soluções são parametrizadas por . Podemos escrever:
Então:
Agora, vamos encontrar . Primeiro, precisamos encontrar .
Composição :
Primeiro, aplicamos :
Agora, aplicamos no resultado de :
Encontrando :
A imagem é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos pela aplicação de . Observamos que está dado por:
Podemos escrever isso como:
Podemos ver que os vetores da imagem são combinações lineares dos vetores , e , mas na verdade, é múltiplo de , então a imagem é gerada por e .

Passo 4

Parte c: Determinar uma base e a dimensão de
Primeiro, vamos entender o que significa . Isso significa aplicar duas vezes: .
Calculando :
Primeiro, aplicamos :
Agora, aplicamos novamente:
Agora, vamos compor com :
Primeiro, aplicamos :
Agora, aplicamos no resultado de :
Encontrando :
Vamos resolver :
Resolvendo o sistema:
  1. Da terceira equação:
  2. Substituindo na primeira equação:
  1. Substituindo e na segunda equação:
Portanto, as soluções são parametrizadas por :
Então:
Base e dimensão:
  • Base:
  • Dimensão: 1

Resposta

a)
b)
c)
  • Base de :
  • Dimensão: 1

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24a.
Sabendo que a direção de um vetor qualquer é dada por uma representação e sabendo ainda que seu módulo é dado por , calcule o módulo do vetor . As direções dos vetores são: , e .
Determine as equações das parábolas abaixo.
e) Foco e diretriz .
Determinar para que o ponto A pertença ao plano BCD.
Dados: .
Resp.:
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