e . Determinar:
a) ;
b) e .
c) uma base e a dimensão de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas funções, e , definidas em . O exercício pede para a gente fazer a composição dessas funções, encontrar o núcleo e a imagem delas compostas, e também determinar uma base e a dimensão de um núcleo específico. Para isso, vamos precisar entender como compor funções, calcular o núcleo () e a imagem () das transformações lineares.
Passo 2
Parte a: Determinar
A composição significa que primeiro aplicamos e depois no resultado. Vamos fazer isso passo a passo.
Funções dadas:
Composição :
Primeiro, aplicamos :
Agora, aplicamos no resultado de :
Passo 3
Parte b: Determinar e
Vamos primeiro encontrar o núcleo de , ou seja, o conjunto de vetores que, quando aplicados em , resultam no vetor zero.
Encontrando :
Temos que resolver :
Resolvendo esse sistema:
Da terceira equação: ker(F circ G) = z(-2, 1, 1) | z in R
Substituindo F(x, y, z) = (x + y, z + y, z) na segunda equação:
G(F(x, y, z)) = G(x + y, z + y, z)
= ((x + y) + 2(z + y), (z + y) - z, (x + y) + 2z)
= (x + y + 2z + 2y, y, x + y + 2z)
Substituindo = (x + 3y + 2z, y, x + y + 2z) e (x + 3y + 2z, y, x + y + 2z) na primeira equação:
Im(G circ F) = x + 3y + 2z y x + y + 2z g| x, y, z in R
Portanto, as soluções são parametrizadas por . Podemos escrever:
Encontrando :
A imagem é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos pela aplicação de . Observamos que está dado por:
Podemos escrever isso como:
Podemos ver que os vetores da imagem são combinações lineares dos vetores , e , mas na verdade, é múltiplo de , então a imagem é gerada por e .
Passo 4
Parte c: Determinar uma base e a dimensão de F(x, y, z) = (x + y, z + y, z)
Primeiro, vamos entender o que significa F(F(x, y, z)) = F(x + y, z + y, z) . Isso significa aplicar = ((x + y) + (z + y), z + (z + y), z) duas vezes: = (x + 2y + z, 2z + y, z) .
Calculando F^2 circ G (x, y, z) = F^2(G(x, y, z)) :
Primeiro, aplicamos G(x, y, z) = (x + 2y, y - z, x + 2z) :