e . Determinar:
a) ;
b) e .
c) uma base e a dimensão de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas funções, e , definidas em . O exercício pede para a gente fazer a composição dessas funções, encontrar o núcleo e a imagem delas compostas, e também determinar uma base e a dimensão de um núcleo específico. Para isso, vamos precisar entender como compor funções, calcular o núcleo () e a imagem () das transformações lineares.
Passo 2
Parte a: Determinar
A composição significa que primeiro aplicamos e depois no resultado. Vamos fazer isso passo a passo.
Funções dadas:
Composição :
Primeiro, aplicamos :
Agora, aplicamos no resultado de :
Passo 3
Parte b: Determinar e
Vamos primeiro encontrar o núcleo de , ou seja, o conjunto de vetores que, quando aplicados em , resultam no vetor zero.
Encontrando :
Temos que resolver :
Resolvendo esse sistema:
Da terceira equação:
Substituindo na segunda equação:
Substituindo e na primeira equação:
Portanto, as soluções são parametrizadas por . Podemos escrever: