Determinar o ponto simétrico do ponto P(3,1,-2) em relação ao ponto A(-1,0,-3)?

Passo 1

Então, a gente tem um ponto P com coordenadas (3, 1, -2) e um ponto A com coordenadas (-1, 0, -3). A questão quer saber qual é o ponto simétrico de P em relação a A. Isso está dentro da matéria de Geometria Analítica, especificamente envolvendo simetria de pontos no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar o ponto que está exatamente do outro lado de A em relação a P.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o ponto simétrico de P em relação a A, que vou chamar de P’, é tal que A é o ponto médio do segmento que liga P a P’. Isso significa que as coordenadas de A são a média das coordenadas de P e de P’.

Passo 3

Vamos usar essa ideia para encontrar as coordenadas de P’. Se A é o ponto médio, então cada coordenada de A é igual à média das coordenadas correspondentes de P e P’. A fórmula para cada coordenada fica assim:
xA = xP + xP'2
yA = yP + yP'2
zA = zP + zP'2

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores que temos:
Para a coordenada x:
-1 = 3 + xP'2
Multiplicando ambos os lados por 2:
-2 = 3 + xP'
Subtraindo 3:
xP' = -5

Passo 5

Para a coordenada y:
0 = 1 + yP'2
Multiplicando por 2:
0 = 1 + yP'
Subtraindo 1:
yP' = -1

Passo 6

Para a coordenada z:
-3 = -2 + zP'2
Multiplicando por 2:
-6 = -2 + zP'
Somando 2:
zP' = -4

Resposta

O ponto simétrico de P(3, 1, −2) em relação a A(-1, 0, −3) é P′(-5, −1, −4).

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