Determinar o ponto simétrico do ponto P(3,1,-2) em relação ao ponto A(-1,0,-3)?
Passo 1
Então, a gente tem um ponto P com coordenadas (3, 1, -2) e um ponto A com coordenadas (-1, 0, -3). A questão quer saber qual é o ponto simétrico de P em relação a A. Isso está dentro da matéria de Geometria Analítica, especificamente envolvendo simetria de pontos no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar o ponto que está exatamente do outro lado de A em relação a P.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o ponto simétrico de P em relação a A, que vou chamar de P’, é tal que A é o ponto médio do segmento que liga P a P’. Isso significa que as coordenadas de A são a média das coordenadas de P e de P’.
Passo 3
Vamos usar essa ideia para encontrar as coordenadas de P’. Se A é o ponto médio, então cada coordenada de A é igual à média das coordenadas correspondentes de P e P’. A fórmula para cada coordenada fica assim:
Passo 4
Agora, vamos substituir os valores que temos:
Para a coordenada x:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Subtraindo 3:
Passo 5
Para a coordenada y:
Multiplicando por 2:
Subtraindo 1:
Passo 6
Para a coordenada z:
Multiplicando por 2:
Somando 2:
Resposta
O ponto simétrico de P(3, 1, −2) em relação a A(-1, 0, −3) é P′(-5, −1, −4).