Verificar a regra da cadeia para as funções:
a) z = f(e^x, -y^2), f(u, v) = 2u + v^2
b) f(u, v) = u*v - v^2 + 2, u = x^2 + y^2, v = x - y + x*y

Passo 1

Beleza, vamos resolver a questão de verificar a regra da cadeia para duas funções. A regra da cadeia é uma técnica de diferenciação usada quando temos funções compostas. Vamos precisar entender como derivar funções de várias variáveis e aplicar a regra da cadeia para encontrar as derivadas parciais. Vamos resolver as partes (a) e (b) uma por uma.

Passo 2

Parte a) Primeiro, vamos identificar as funções envolvidas:
Aqui, e . Queremos encontrar as derivadas parciais de em relação a e usando a regra da cadeia.

Passo 3

Para encontrar e , usamos a regra da cadeia:

Passo 4

Primeiro, calculemos as derivadas parciais de em relação a e :

Passo 5

Agora, calculemos as derivadas de e :
ã
ã

Passo 6

Substituindo tudo na fórmula da regra da cadeia:

Passo 7

Parte b) Agora, vamos para a segunda função:
Queremos encontrar as derivadas parciais de em relação a e usando a regra da cadeia.

Passo 8

Aplicamos a regra da cadeia:

Passo 9

Calculando as derivadas parciais de :

Passo 10

Calculando as derivadas de e :

Passo 11

Substituindo na regra da cadeia:

Resposta

As derivadas parciais são:

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