Verificar a regra da cadeia para as funções:
a)
b)
a)
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a questão de verificar a regra da cadeia para duas funções. A regra da cadeia é uma técnica de diferenciação usada quando temos funções compostas. Vamos precisar entender como derivar funções de várias variáveis e aplicar a regra da cadeia para encontrar as derivadas parciais. Vamos resolver as partes (a) e (b) uma por uma.
Passo 2
Parte a) Primeiro, vamos identificar as funções envolvidas:
Aqui,
e
. Queremos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
usando a regra da cadeia.
Passo 3
Para encontrar
e
, usamos a regra da cadeia:
Passo 4
Primeiro, calculemos as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Passo 5
Agora, calculemos as derivadas de
e
:
Passo 6
Substituindo tudo na fórmula da regra da cadeia:
Passo 7
Parte b) Agora, vamos para a segunda função:
Queremos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
usando a regra da cadeia.
Passo 8
Aplicamos a regra da cadeia:
Passo 9
Calculando as derivadas parciais de
:
Passo 10
Calculando as derivadas de
e
:
Passo 11
Substituindo na regra da cadeia:
Resposta
As derivadas parciais são: