Determinar os pontos da curva onde o raio de curvatura é menor: ciclóide r(t) = (t - sen(t), 1 - cos(t)), t em [0, 2pi]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos na curva da ciclóide onde o raio de curvatura é menor. A ciclóide é dada por , com t variando de 0 a . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas e curvatura de curvas paramétricas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é o raio de curvatura. O raio de curvatura, geralmente denotado por R, mede o quão “rápida” é a mudança de direção da curva em um ponto específico. Quanto menor o raio, mais acentuada é a curva naquele ponto.

Passo 3

Para encontrar o raio de curvatura de uma curva paramétrica , usamos a fórmula:
Essa fórmula nos dá o raio de curvatura em termos das derivadas primeira e segunda de x(t) e y(t).

Passo 4

Vamos calcular as derivadas necessárias para nossa ciclóide .
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 5

Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do raio de curvatura:
Vamos simplificar o numerador e o denominador.

Passo 6

Simplificando o numerador:
Então,
Simplificando o denominador:
A expressão fica:

Passo 7

Perceba que e . Substituindo na expressão:
Como , é não negativo, então podemos tirar o valor absoluto:

Passo 8

Queremos encontrar onde R(t) é mínimo. Como , o mínimo ocorre quando é mínimo. Sabemos que varia entre 0 e 1, então o mínimo de R(t) é 0, que acontece quando .

Passo 9

Resolvendo :
Então, os valores de t que minimizam R(t) são e .

Passo 10

Agora, vamos encontrar os pontos correspondentes na curva usando e .
Para :
Para :

Resposta

Os pontos na curva da ciclóide onde o raio de curvatura é menor são e .

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