Determinar os pontos da curva onde o raio de curvatura é menor: ciclóide

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos na curva da ciclóide onde o raio de curvatura é menor. A ciclóide é dada por , com variando de a . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas e curvatura de curvas paramétricas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é o raio de curvatura. O raio de curvatura, geralmente denotado por , mede o quão “rápida” é a mudança de direção da curva em um ponto específico. Quanto menor o raio, mais acentuada é a curva naquele ponto.

Passo 3

Para encontrar o raio de curvatura de uma curva paramétrica , usamos a fórmula:
Essa fórmula nos dá o raio de curvatura em termos das derivadas primeira e segunda de e .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas necessárias para nossa ciclóide .
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 5

Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do raio de curvatura:
Vamos simplificar o numerador e o denominador.

Passo 6

Simplificando o numerador:
Então,
Simplificando o denominador:
A expressão fica:

Passo 7

Perceba que e . Substituindo na expressão:
Como , é não negativo, então podemos tirar o valor absoluto:

Passo 8

Queremos encontrar onde é mínimo. Como , o mínimo ocorre quando é mínimo. Sabemos que varia entre e , então o mínimo de é , que acontece quando .

Passo 9

Resolvendo :
Então, os valores de que minimizam são e .

Passo 10

Agora, vamos encontrar os pontos correspondentes na curva usando e .
Para :
Para :

Resposta

Os pontos na curva da ciclóide onde o raio de curvatura é menor são e .

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