Seja
dada por
.
a) A função
é contínua em
? Justifique.
b) Determine
e verifique se
é diferenciável
.
a) A função
b) Determine
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. A gente tem uma função
definida por:
Temos duas partes para resolver:
a) Verificar se essa função é contínua em
.
b) Determinar as derivadas parciais
e
e verificar se
é diferenciável em
.
Vamos resolver passo a passo!
Passo 2
Parte a) Vamos verificar se a função
é contínua no ponto
.
Primeiro, lembrar de que uma função é contínua em um ponto se o limite da função quando
se aproxima desse ponto for igual ao valor da função no ponto.
Aqui, precisamos calcular:
E ver se esse limite é igual a
.
Passo 3
Para calcular o limite, observamos a expressão de
quando
:
Sabemos que
está sempre limitado entre
e
, ou seja:
Multiplicando todos os termos por
(que é sempre não negativo), temos:
Passo 4
Agora, tomamos o limite de ambos os lados quando
:
Pela Regra do Squeeze (ou Regra do Aperto), se uma função está “espremida” entre duas funções que têm o mesmo limite, então o limite da função intermediária também é esse mesmo limite. Portanto:
Como
, concluímos que
é contínua em
.
Passo 5
Parte b) Agora, vamos determinar as derivadas parciais
e
e verificar se
é diferenciável em
.
Primeiro, lembrando que para pontos diferentes de
, a função
é dada por:
Vamos calcular as derivadas parciais usando a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 6
Calculando
:
Aplicamos a regra do produto:
Calculando cada termo:
-
-
Para o segundo termo, usamos a regra da cadeia:
Então:
Passo 7
Calculando
:
Analogamente ao que fizemos para
, aplicamos a regra do produto:
Calculando cada termo:
-
-
Para o segundo termo, usando a regra da cadeia:
Então:
Passo 8
Verificando a diferenciabilidade de
em
:
Para que uma função seja diferenciável em um ponto, ela precisa ter derivadas parciais contínuas naquele ponto.
As expressões das derivadas parciais que encontramos são bem definidas para todos
, já que o denominador
não é zero.
Além disso, as funções sen e cos são suaves (infinitamente diferenciáveis), e as operações realizadas (soma, multiplicação, divisão por
) mantêm a diferenciabilidade.
Portanto,
é diferenciável em todos os pontos de
excluindo
.
Resposta
a) Sim, a função
é contínua em
porque o limite de
quando
se aproxima de
é igual a
.
b) As derivadas parciais de
são:
Além disso, a função
é diferenciável em
.