Seja f: R^2 R dada por f(x, y)=cl(x^2+y^2) sen (1x^2+y^2) & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0).
a) A função f é contínua em (0,0) ? Justifique.
b) Determine partial fpartial x, partial fpartial y e verifique se f é diferenciável em R^2 backslash(0,0).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. A gente tem uma função f(x, y) = (x^2 + y^2) sin(1x^2 + y^2) & se (x, y) neq (0,0) 0 & se (x, y) = (0,0) definida por:
Temos duas partes para resolver:
a) Verificar se essa função é contínua em .
b) Determinar as derivadas parciais e e verificar se é diferenciável em .
Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Parte a) Vamos verificar se a função lim(x,y) to (0,0) f(x,y) é contínua no ponto .
Primeiro, lembrar de que uma função é contínua em um ponto se o limite da função quando se aproxima desse ponto for igual ao valor da função no ponto.
Aqui, precisamos calcular:
E ver se esse limite é igual a .

Passo 3

Para calcular o limite, observamos a expressão de f(x, y) = (x^2 + y^2) sin(1x^2 + y^2) quando -1 <= sin(1x^2 + y^2) <= 1 :
-(x^2 + y^2) <= f(x, y) <= (x^2 + y^2)
Sabemos que está sempre limitado entre e , ou seja:
Multiplicando todos os termos por (que é sempre não negativo), temos:

Passo 4

Agora, tomamos o limite de ambos os lados quando lim(x,y) to (0,0) -(x^2 + y^2) = 0 :
lim(x,y) to (0,0) (x^2 + y^2) = 0
lim(x,y) to (0,0) f(x,y) = 0
Pela Regra do Squeeze (ou Regra do Aperto), se uma função está “espremida” entre duas funções que têm o mesmo limite, então o limite da função intermediária também é esse mesmo limite. Portanto:
Como , concluímos que é contínua em .

Passo 5

Parte b) Agora, vamos determinar as derivadas parciais f(x, y) = (x^2 + y^2) sin(1x^2 + y^2) e e verificar se é diferenciável em .
Primeiro, lembrando que para pontos diferentes de , a função é dada por:
Vamos calcular as derivadas parciais usando a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 6

Calculando partial fpartial x = partialpartial x [(x^2 + y^2)] cdot sin(1x^2 + y^2) + (x^2 + y^2) cdot partialpartial x [ sin(1x^2 + y^2) ] :
Aplicamos a regra do produto:
partialpartial x sin(1x^2 + y^2) = cos(1x^2 + y^2) cdot ( -2x(x^2 + y^2)^2 )
Calculando cada termo:
  1. partial fpartial x = 2x sin(1x^2 + y^2) - 2xx^2 + y^2 cos(1x^2 + y^2)
  2. Para o segundo termo, usamos a regra da cadeia:
Então:

Passo 7

Calculando partial fpartial y = partialpartial y [(x^2 + y^2)] cdot sin(1x^2 + y^2) + (x^2 + y^2) cdot partialpartial y [ sin(1x^2 + y^2) ] :
Analogamente ao que fizemos para partialpartial y sin(1x^2 + y^2) = cos(1x^2 + y^2) cdot ( -2y(x^2 + y^2)^2 ) , aplicamos a regra do produto:
partial fpartial y = 2y sin(1x^2 + y^2) - 2yx^2 + y^2 cos(1x^2 + y^2)
Calculando cada termo:
  1. Para o segundo termo, usando a regra da cadeia:
Então:

Passo 8

Verificando a diferenciabilidade de em :
Para que uma função seja diferenciável em um ponto, ela precisa ter derivadas parciais contínuas naquele ponto.
As expressões das derivadas parciais que encontramos são bem definidas para todos , já que o denominador não é zero.
Além disso, as funções sen e cos são suaves (infinitamente diferenciáveis), e as operações realizadas (soma, multiplicação, divisão por ) mantêm a diferenciabilidade.
Portanto, é diferenciável em todos os pontos de excluindo .

Resposta

a) Sim, a função partial fpartial x = 2x sin(1x^2 + y^2) - 2xx^2 + y^2 cos(1x^2 + y^2) é contínua em partial fpartial y = 2y sin(1x^2 + y^2) - 2yx^2 + y^2 cos(1x^2 + y^2) porque o limite de quando se aproxima de é igual a .
b) As derivadas parciais de são:
Além disso, a função é diferenciável em .

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