Determine os valores extremos da função restrita à superfície .
Passo 1
Beleza, a gente tem que encontrar os valores extremos da função sujeita à restrição . Isso significa que queremos saber onde a função atinge seu mínimo ou máximo enquanto os valores de obedecem essa equação restritiva. Para resolver isso, vamos usar uma técnica chamada Multiplicadores de Lagrange, que nos ajuda a encontrar extremos de funções sob certas restrições.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são os Multiplicadores de Lagrange. Essa técnica envolve criar uma nova função, chamada de função Lagrangiana, que combina a função que queremos otimizar () e a restrição () usando um multiplicador (geralmente representado por ). A função Lagrangiana fica assim:
A ideia é que, nos pontos extremos, as derivadas parciais dessa função em relação a e devem ser zero.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais da função Lagrangiana:
Derivada em relação a :
Derivada em relação a :
Derivada em relação a :
Derivada em relação a :
Passo 4
Agora temos um sistema de equações para resolver:
Vamos analisar cada equação:
Da terceira equação, , temos duas possibilidades:
Vamos explorar cada caso separadamente.
Passo 5
Caso 1:
Substituindo na quarta equação:
Agora, pelas duas primeiras equações:
Podemos resolver esse sistema para e . Multiplicando a primeira equação por e a segunda por :
Subtraindo as duas equações:
Mas já sabemos que . Se , então , o que não tem solução real. Portanto, .
Substituindo em :
Então:
Se ,
Se ,
Assim, temos duas soluções neste caso:
Caso 2:
Se , então as duas primeiras equações ficam:
Resolvendo esse sistema:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda:
Então .
Agora, usando a quarta equação :
Assim, temos mais duas soluções:
Resposta
Os valores extremos da função restrita à superfície ocorrem nos pontos: