Determinar os pontos em que a curva
corta o plano
.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para encontrar os pontos onde a curva definida por
intersecta o plano dado pela equação
. Aqui, vamos trabalhar com geometria analítica e funções vetoriais. Precisamos substituir as coordenadas da curva na equação do plano e resolver para o parâmetro
. Depois, com o valor de
, encontramos os pontos de interseção.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar as coordenadas da curva em função de
:
Essas são as componentes da função vetorial
.
Passo 3
Agora, substituímos esses valores na equação do plano para encontrar o valor de
. A equação do plano é:
Substituindo
,
e
:
Passo 4
Vamos simplificar essa equação passo a passo:
Combine os termos semelhantes:
Passo 5
Agora temos uma equação quadrática no formato
. No nosso caso:
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de
.
Passo 6
Podemos resolver a equação quadrática fatorando:
Assim, as soluções são:
Passo 7
Com os valores de
, vamos encontrar os pontos de interseção substituindo de volta nas expressões de
,
e
.
Para
:
Então, o primeiro ponto é
.
Para
:
Então, o segundo ponto é
.
Resposta
A curva corta o plano nos pontos
e
.
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definida por
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.
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