Determinar os pontos em que a curva r(t) = (t^2 - 1) i + (t^2 + 1) j + 3t k corta o plano 3x - 2y - z + 7 = 0.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para encontrar os pontos onde a curva definida por r(t) = (t^2 - 1) i + (t^2 + 1) j + 3t k intersecta o plano dado pela equação . Aqui, vamos trabalhar com geometria analítica e funções vetoriais. Precisamos substituir as coordenadas da curva na equação do plano e resolver para o parâmetro t. Depois, com o valor de t, encontramos os pontos de interseção.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar as coordenadas da curva em função de t:
Essas são as componentes da função vetorial vec(r)(t).

Passo 3

Agora, substituímos esses valores na equação do plano para encontrar o valor de t. A equação do plano é:
Substituindo x, y e z:

Passo 4

Vamos simplificar essa equação passo a passo:
Combine os termos semelhantes:

Passo 5

Agora temos uma equação quadrática no formato . No nosso caso:
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de t.

Passo 6

Podemos resolver a equação quadrática fatorando:
Assim, as soluções são:

Passo 7

Com os valores de t, vamos encontrar os pontos de interseção substituindo de volta nas expressões de x, y e z.
Para :
Então, o primeiro ponto é .
Para :
Então, o segundo ponto é .

Resposta

A curva corta o plano nos pontos e .

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