(a) Obtenha equações de nas formas vetoriais, paramétricas e simétricas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para obter as equações de uma reta nas formas vetorial, paramétrica e simétrica. Isso faz parte da Geometria Analítica, onde estudamos como representar retas no espaço ou no plano usando diferentes tipos de equações. Para resolver isso, vamos precisar entender como cada uma dessas formas funciona e como converter de uma para a outra.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a forma vetorial da equação da reta. Nessa forma, representamos a reta usando um vetor de posição e um vetor diretor.
  • Vetor de posição ( ): é um ponto específico por onde a reta passa.
  • Vetor diretor ( ): indica a direção da reta.
A equação vetorial fica assim:
Onde é um parâmetro real que varia.

Passo 3

Agora, vamos para a forma paramétrica. Nessa forma, expressamos cada coordenada da reta como uma função do parâmetro . A partir da equação vetorial, separamos as componentes para , e (se estiver no espaço).
Se e , as equações paramétricas são:
Isso nos dá uma maneira clara de calcular qualquer ponto na reta variando o valor de .

Passo 4

Por último, vamos para a forma simétrica. Aqui, eliminamos o parâmetro das equações paramétricas para relacionar diretamente as coordenadas , e .
Tomando as equações paramétricas:
Resolvemos cada uma para :
Assim, a forma simétrica da reta fica:

Resposta

Portanto, as equações da reta são:
  • Forma Vetorial:
  • Forma Paramétrica:
  • Forma Simétrica:

Exercícios relacionados

Determinar a posição relativa e calcular a distância entre as retas:
e ;
Sabendo que , calcular:
.
Determine os autovalores e os autovetores das matrizes:
Sabendo que e , calcule a matriz indicada (se possível).
(n)