Determine os autovalores e os autovetores das matrizes:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar os autovalores e autovetores da matriz:
Isso faz parte do conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre autovalores e autovetores. Para resolver, vamos precisar calcular o polinômio característico da matriz e depois encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Passo 2
O primeiro passo para encontrar os autovalores é calcular o polinômio característico, que é dado por:
Aqui, é a matriz identidade e representa os autovalores que queremos encontrar.
Passo 3
Vamos montar a matriz :
Passo 4
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Calculando o determinante da matriz 2x2:
Passo 5
Substituímos de volta no determinante original:
Igualando a zero para encontrar os autovalores:
Passo 6
Resolvemos a equação fatorial:
Para a segunda parte, resolvemos a equação quadrática:
Assim, as soluções são e .
Passo 7
Agora temos os autovalores: , e .
Vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor resolvendo .
Passo 8
Para :
Substituímos na matriz :
$$
$$
Isso resulta em:
(sem informação)
Então, é livre. Podemos escolher .
Autovetor para :
Passo 9
Para :
Substituímos na matriz :
$$
$$
Isso resulta em:
(redundante)
Escolhemos , então .
Autovetor para :
Passo 10
Para :
Substituímos na matriz :
$$
$$
Isso resulta em:
(redundante)
Escolhemos , então .
Autovetor para :
Resposta
Os autovalores e seus respectivos autovetores da matriz são: