Determine os autovalores e os autovetores das matrizes: xi=(ccc3 & 0 & 0 0 & 3 & 2 0 & -1 & 0)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar os autovalores e autovetores da matriz:
xi = 3 & 0 & 0 0 & 3 & 2 0 & -1 & 0
Isso faz parte do conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre autovalores e autovetores. Para resolver, vamos precisar calcular o polinômio característico da matriz e depois encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.

Passo 2

O primeiro passo para encontrar os autovalores é calcular o polinômio característico, que é dado por:
det(xi - lambda I) = 0
Aqui, é a matriz identidade e representa os autovalores que queremos encontrar.

Passo 3

Vamos montar a matriz xi - lambda I = 3 - lambda & 0 & 0 0 & 3 - lambda & 2 0 & -1 & -lambda :

Passo 4

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(xi - lambda I) = (3 - lambda) cdot det 3 - lambda & 2 -1 & -lambda - 0 + 0
Calculando o determinante da matriz 2x2:
det 3 - lambda & 2 -1 & -lambda = (3 - lambda)(-lambda) - (2)(-1) = -3lambda + lambda^2 + 2

Passo 5

Substituímos de volta no determinante original:
det(xi - lambda I) = (3 - lambda)(lambda^2 - 3lambda + 2)
Igualando a zero para encontrar os autovalores:
(3 - lambda)(lambda^2 - 3lambda + 2) = 0

Passo 6

Resolvemos a equação fatorial:
  1. lambda = 3 pm raiz9 - 82 = 3 pm 12
Para a segunda parte, resolvemos a equação quadrática:
Assim, as soluções são e .

Passo 7

Agora temos os autovalores: , e .
Vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor resolvendo .

Passo 8

Para 0 & 0 & 0 0 & 0 & 2 0 & -1 & -3 v1 v2 v3 = 0 0 0 :
Substituímos na matriz v = 1 0 0 :

$$

$$
Isso resulta em:
  1. (sem informação)
Então, é livre. Podemos escolher .
Autovetor para :

Passo 9

Para 1 & 0 & 0 0 & 1 & 2 0 & -1 & -2 v1 v2 v3 = 0 0 0 :
Substituímos na matriz v = 0 -2 1 :

$$

$$
Isso resulta em:
  1. (redundante)
Escolhemos , então .
Autovetor para :

Passo 10

Para 2 & 0 & 0 0 & 2 & 2 0 & -1 & -1 v1 v2 v3 = 0 0 0 :
Substituímos na matriz v = 0 -1 1 :

$$

$$
Isso resulta em:
  1. (redundante)
Escolhemos , então .
Autovetor para :

Resposta

Os autovalores e seus respectivos autovetores da matriz 1 0 0 são:
  1. 0 -2 1 com autovetor 0 -1 1
  2. com autovetor
  3. com autovetor

Exercícios relacionados