Determine os autovalores e os autovetores das matrizes:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar os autovalores e autovetores da matriz:
Isso faz parte do conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre autovalores e autovetores. Para resolver, vamos precisar calcular o polinômio característico da matriz e depois encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.

Passo 2

O primeiro passo para encontrar os autovalores é calcular o polinômio característico, que é dado por:
Aqui, é a matriz identidade e representa os autovalores que queremos encontrar.

Passo 3

Vamos montar a matriz :

Passo 4

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Calculando o determinante da matriz 2x2:

Passo 5

Substituímos de volta no determinante original:
Igualando a zero para encontrar os autovalores:

Passo 6

Resolvemos a equação fatorial:
Para a segunda parte, resolvemos a equação quadrática:
Assim, as soluções são e .

Passo 7

Agora temos os autovalores: , e .
Vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor resolvendo .

Passo 8

Para :
Substituímos na matriz :

$$

$$
Isso resulta em:
  1. (sem informação)
Então, é livre. Podemos escolher .
Autovetor para :

Passo 9

Para :
Substituímos na matriz :

$$

$$
Isso resulta em:
  1. (redundante)
Escolhemos , então .
Autovetor para :

Passo 10

Para :
Substituímos na matriz :

$$

$$
Isso resulta em:
  1. (redundante)
Escolhemos , então .
Autovetor para :

Resposta

Os autovalores e seus respectivos autovetores da matriz são:
  1. com autovetor
  2. com autovetor
  3. com autovetor

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