Determinar a posição relativa e calcular a distância entre as retas:
(a) r:lx=-2-2 t y=2 t z=3-4 t , t in R, e s: x4=y+62=z-12;
(b) r:ly=-2 x-1 z=x+2 e s: x-12=y3=z+1-3;
© r:lx+y-z+1=0 2 x-y+z=0 e s:lx=2 t y=1-t z=2+3 t, t in R.;
(d) r:lx=2+2 alpha y=1+alpha z=-1 , alpha in R, e s:lx=2-2 beta y=1-beta z=1 , beta in R.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o item (a) do exercício. A questão pede para determinar a posição relativa e calcular a distância entre duas retas no espaço tridimensional. Vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como equações paramétricas de retas, determinantes para verificar se as retas são paralelas, coincidentes ou se são retas que não se encontram (retas paralelas).
As retas dadas são:
  • Reta x = -2 - 2t y = 2t z = 3 - 4t , t in R com as equações paramétricas: x4 = y + 62 = z - 12
  • Reta com as equações simétricas:
Vamos seguir passo a passo para entender a posição relativa dessas retas e calcular a distância entre elas se for o caso.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a reta x4 = y + 62 = z - 12 = lambda , lambda in R em forma paramétrica para facilitar a comparação com a reta x = 4lambda y = 2lambda - 6 z = 2lambda + 1 . As equações simétricas podem ser escritas como:
Então, as equações paramétricas da reta são:
Agora temos ambas as retas em forma paramétrica, o que facilita a comparação e análise.

Passo 3

Vamos identificar os vetores diretores de cada reta. O vetor diretor de uma reta em forma paramétrica é dado pelos coeficientes de dr = (-2, 2, -4) ou ds = (4, 2, 2) :
  • Para a reta :
  • Para a reta :
Agora, precisamos verificar se as retas são paralelas ou se elas se cruzam.

Passo 4

Para verificar se as retas são paralelas, vamos ver se os vetores diretores são múltiplos um do outro. Ou seja, se existe um escalar dr = k cdot ds tal que:
-2 = 4k Rightarrow k = -12
Vamos tentar encontrar esse 2 = 2k Rightarrow k = 1 :
Como os valores de não são consistentes, as retas não são paralelas.

Passo 5

Como as retas não são paralelas, precisamos verificar se elas se interceptam ou são retas que estão em posições diferentes no espaço (retas seculares ou skew lines). Para isso, vamos tentar encontrar valores de -2 - 2t = 4lambda (1) 2t = 2lambda - 6 (2) 3 - 4t = 2lambda + 1 (3) e que satisfazem as equa��ões das duas retas simultaneamente.
Igualando as coordenadas de e :
Vamos resolver esse sistema de equações.

Passo 6

Primeiro, da equação (2):
2t = 2lambda - 6 Rightarrow t = lambda - 3 (4)
Substituindo -2 - 2(lambda - 3) = 4lambda -2 - 2lambda + 6 = 4lambda 4 = 6lambda lambda = 23 da equação (4) na equação (1):
t = 23 - 3 = -73
Agora, substituindo 3 - 4(-73) = 2(23) + 1 3 + 283 = 43 + 1 93 + 283 = 43 + 33 373 neq 73 na equação (4):
Vamos verificar se esses valores satisfazem a equação (3):
Como não há consistência, as retas não se intersectam.

Passo 7

Como as retas não são paralelas e não se intersectam, elas são chamadas de retas seculares (ou “skew lines”). Agora, vamos calcular a distância entre essas retas.
A fórmula para a distância D = |dr times ds cdot PQ||dr times ds| entre duas retas seculares é dada por:
Onde:
  • e são os vetores diretores das retas e , respectivamente.
  • é o vetor que liga um ponto na reta a um ponto na reta .
  • representa o produto vetorial.
  • representa o produto escalar.

Passo 8

Vamos escolher pontos P = (-2, 0, 3) na reta Q = (0, -6, 1) e PQ = Q - P = (0 - (-2), -6 - 0, 1 - 3) = (2, -6, -2) na reta . Podemos usar os valores de e para facilitar:
  • Ponto na reta quando :
  • Ponto na reta quando :
Agora, calculamos o vetor :

Passo 9

Agora, vamos calcular o produto vetorial dr = (-2, 2, -4) ds = (4, 2, 2) :
dr times ds = i & j & k -2 & 2 & -4 4 & 2 & 2 = i(2 cdot 2 - (-4) cdot 2) - j(-2 cdot 2 - (-4) cdot 4) + k(-2 cdot 2 - 2 cdot 4)
= i(4 + 8) - j(-4 + 16) + k(-4 - 8) = 12i - 12j - 12k = (12, -12, -12)
|dr times ds| = raiz12^2 + (-12)^2 + (-12)^2 = raiz144 + 144 + 144 = raiz432 = 12raiz3
Agora, calculamos o módulo desse vetor:

Passo 10

Agora, vamos calcular o produto escalar dr times ds = (12, -12, -12) PQ = (2, -6, -2) :
dr times ds cdot PQ = 12 cdot 2 + (-12) cdot (-6) + (-12) cdot (-2) = 24 + 72 + 24 = 120
D = |120|12raiz3 = 12012raiz3 = 10raiz3 = 10raiz33
Agora, aplicamos na fórmula da distância:

Resposta

A distância entre as retas e é unidades.

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