Seja onde . Verifique que é um ponto crítico de f e determine

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar que o ponto (0,0) é um ponto crítico da função , onde é um número real diferente de . Depois disso, precisamos determinar a natureza desse ponto crítico. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função e analisar o comportamento da função ao redor do ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e .
A derivada parcial de em relação a é:
A derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos verificar se (0,0) é um ponto crítico. Para isso, precisamos que ambas as derivadas parciais sejam iguais a zero no ponto (0,0).
Calculando:
Como ambas as derivadas parciais são zero em (0,0), concluímos que (0,0) é de fato um ponto crítico da função .

Passo 4

Agora, para determinar a natureza desse ponto crítico, vamos usar o teste da derivada segunda. Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
Em seguida, calculamos o discriminante :
Analisando o valor de :
  • Se e , o ponto é um mínimo.
  • Se e , o ponto é um máximo.
  • Se , o ponto é um ponto de sela.
  • Se , o teste é inconclusivo.
Dado que , temos:
  • Se , então e , indicando um mínimo no ponto (0,0).
  • Se , então , indicando um ponto de sela no ponto (0,0).

Resposta

O ponto (0,0) é um ponto crítico de . Dependendo do valor de :
  • Se , (0,0) é um mínimo.
  • Se , (0,0) é um ponto de sela.

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(a) , e ;
(b) e ;
© e .;
(d) , e .
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