Seja
onde
. Verifique que
é um ponto crítico de f e determine
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar que o ponto (0,0) é um ponto crítico da função
, onde
é um número real diferente de
. Depois disso, precisamos determinar a natureza desse ponto crítico. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função e analisar o comportamento da função ao redor do ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
.
A derivada parcial de
em relação a
é:
A derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos verificar se (0,0) é um ponto crítico. Para isso, precisamos que ambas as derivadas parciais sejam iguais a zero no ponto (0,0).
Calculando:
Como ambas as derivadas parciais são zero em (0,0), concluímos que (0,0) é de fato um ponto crítico da função
.
Passo 4
Agora, para determinar a natureza desse ponto crítico, vamos usar o teste da derivada segunda. Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
Em seguida, calculamos o discriminante
:
Analisando o valor de
:
- Se
e , o ponto é um mínimo. - Se
e , o ponto é um máximo. - Se
, o ponto é um ponto de sela. - Se
, o teste é inconclusivo.
Dado que
, temos:
- Se
, então e , indicando um mínimo no ponto (0,0). - Se
, então , indicando um ponto de sela no ponto (0,0).
Resposta
O ponto (0,0) é um ponto crítico de
. Dependendo do valor de
:
- Se
, (0,0) é um mínimo. - Se
, (0,0) é um ponto de sela.