Seja f(x, y)=a x^2-x y+y^2 onde a inR-14. Verifique que (0,0) é um ponto crítico de f e determine

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar que o ponto (0,0) é um ponto crítico da função , onde é um número real diferente de . Depois disso, precisamos determinar a natureza desse ponto crítico. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função e analisar o comportamento da função ao redor do ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de fx(x, y) = partial fpartial x = 2a x - y em relação a fy(x, y) = partial fpartial y = -x + 2y e .
A derivada parcial de em relação a é:
A derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos verificar se (0,0) é um ponto crítico. Para isso, precisamos que ambas as derivadas parciais sejam iguais a zero no ponto (0,0).
Calculando:
fx(0, 0) = 2a(0) - 0 = 0
fy(0, 0) = -0 + 2(0) = 0
Como ambas as derivadas parciais são zero em (0,0), concluímos que (0,0) é de fato um ponto crítico da função .

Passo 4

Agora, para determinar a natureza desse ponto crítico, vamos usar o teste da derivada segunda. Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
fxx = partial^2 fpartial x^2 = 2a
fyy = partial^2 fpartial y^2 = 2
fxy = partial^2 fpartial x partial y = -1
Em seguida, calculamos o discriminante D = fxx fyy - (fxy)^2 = (2a)(2) - (-1)^2 = 4a - 1 :
Analisando o valor de :
  • Se e , o ponto é um mínimo.
  • Se e , o ponto é um máximo.
  • Se , o ponto é um ponto de sela.
  • Se , o teste é inconclusivo.
Dado que , temos:
  • Se , então e , indicando um mínimo no ponto (0,0).
  • Se , então , indicando um ponto de sela no ponto (0,0).

Resposta

O ponto (0,0) é um ponto crítico de . Dependendo do valor de :
  • Se , (0,0) é um mínimo.
  • Se , (0,0) é um ponto de sela.

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