Determine um ponto C, pertencente à reta r: x=y2, z=1, equidistante de A=(1,1,4) e B=(-6,6,4).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar um ponto que está na reta e que está igualmente distante dos pontos e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula da distância entre dois pontos no espaço.

Passo 2

Vamos representar o ponto na reta . Sabemos que e , então podemos escrever como . Aqui, é a única variável que precisamos descobrir.

Passo 3

A condição dada é que as distâncias de Distância entre C e A = raiz(y2 - 1)^2 + (y - 1)^2 + (1 - 4)^2 a Distância entre C e B = raiz(y2 - (-6))^2 + (y - 6)^2 + (1 - 4)^2 e a são iguais. Vamos escrever essas distâncias usando a fórmula da distância:
â
â

Passo 4

Igualando as duas distâncias:
raiz(y2 - 1)^2 + (y - 1)^2 + (-3)^2 = raiz(y2 + 6)^2 + (y - 6)^2 + (-3)^2
Podemos simplificar removendo as raízes, já que ambas são positivas:
(y2 - 1)^2 + (y - 1)^2 + 9 = (y2 + 6)^2 + (y - 6)^2 + 9

Passo 5

Subtraindo 9 de ambos os lados:
(y2 - 1)^2 + (y - 1)^2 = (y2 + 6)^2 + (y - 6)^2
Expandindo os quadrados:
(y^24 - y + 1) + (y^2 - 2y + 1) = (y^24 + 6y + 36) + (y^2 - 12y + 36)

Passo 6

Somando os termos semelhantes:
y^24 - y + 1 + y^2 - 2y + 1 = y^24 + 6y + 36 + y^2 - 12y + 36
5y^24 - 3y + 2 = 5y^24 - 6y + 72

Passo 7

Subtraindo -3y + 2 = -6y + 72 de ambos os lados:
3y + 2 = 72
Adicionando 3y = 70 a ambos os lados:
y = 703
Subtraindo 2 de ambos os lados:
Dividindo por 3:

Passo 8

Agora que temos x = 703 times 12 = 353 , vamos encontrar usando :
E sabemos que .

Resposta

O ponto é .

Exercícios relacionados