( 0,3 pontos) Mostre que os vetores u, v e w são L.I.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício que pede para mostrar que os vetores , e são linearmente independentes (L.I.). Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, onde vamos precisar entender o conceito de independência linear e como aplicá-lo usando matrizes e determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa dizer que vetores são linearmente independentes. Tranquilo? Basicamente, isso quer dizer que nenhum vetor da coleção pode ser escrito como combinação linear dos outros. Em outras palavras, a única solução para a equação é .

Passo 3

Para verificar a independência linear, vamos organizar os vetores em uma matriz, colocando cada vetor como uma coluna dessa matriz. Se a matriz resultante tiver determinante diferente de zero, isso garante que os vetores são L.I.
Vamos supor que nossos vetores sejam:
u = u1 u2 u3 , v = v1 v2 v3 , w = w1 w2 w3
Então, a matriz ficará assim:
A = u1 & v1 & w1 u2 & v2 & w2 u3 & v3 & w3

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz det(A) = u1 cdot (v2w3 - v3w2) - v1 cdot (u2w3 - u3w2) + w1 cdot (u2v3 - u3v2) . Se , então os vetores são linearmente independentes. O determinante de uma matriz 3x3 é calculado da seguinte forma:

Passo 5

Vamos substituir os valores dos vetores , e na fórmula do determinante e calcular. Infelizmente, como não temos os valores específicos dos vetores, não conseguimos calcular o determinante aqui. Mas o processo seria exatamente esse!

Passo 6

Depois de calcular , analisamos o resultado:
  • Se : Os vetores são linearmente independentes.
  • Se : Os vetores são linearmente dependentes.

Resposta

Assim, para mostrar que os vetores , e são linearmente independentes, organizamos os vetores em uma matriz, calculamos o determinante e verificamos que ele é diferente de zero. Portanto, os vetores são L.I.

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