Determinar a posição relativa dos seguintes planos, em relação aos planos e eixos coordenados:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir como o plano
se comporta em relação aos planos coordenados (como o plano XY, XZ e YZ) e aos eixos coordenados (X, Y e Z). Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações de planos e como identificar se eles são paralelos ou se cortam os planos e eixos coordenados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um plano no espaço tridimensional é definido por uma equação do tipo
. No nosso caso, a equação é
. Note que não tem termo de
, o que significa que o coeficiente de
é zero.
Passo 3
Agora, vamos analisar a posição desse plano em relação aos planos coordenados. Os planos coordenados são:
- Plano XY:
- Plano XZ:
- Plano YZ:
Vamos ver se o nosso plano
é paralelo a algum desses planos ou se eles se interceptam.
Passo 4
Para o plano ser paralelo a outro plano coordenado, os coeficientes das variáveis que não estão fixadas no plano coordenado devem ser iguais ou proporcionais. Vamos ver:
-
Relação com o plano XY (
): Nosso plano tem e , mas não tem . Isso indica que o plano não é paralelo ao plano XY, e eles vão se interceptar em uma linha. -
Relação com o plano XZ (
): Se substituirmos na equação do nosso plano, temos . Isso significa que o plano corta o plano XZ em uma linha onde e pode ser qualquer valor. Portanto, não é paralelo. -
Relação com o plano YZ (
): Substituindo , temos . Assim, o plano corta o plano YZ em uma linha onde e é qualquer valor. Também não é paralelo.
Passo 5
Agora, vamos olhar para os eixos coordenados:
-
Eixo X: onde
e . Substituindo na equação do plano, . Então, o ponto está no eixo X e pertence ao nosso plano. -
Eixo Y: onde
e . Substituindo, . Então, o ponto está no eixo Y e pertence ao plano. -
Eixo Z: onde
e . Substituindo, , o que não é possível. Isso significa que o plano não intercepta o eixo Z.
Resposta
O plano
corta os planos coordenados XY, XZ e YZ em linhas, não sendo paralelo a nenhum deles. Em relação aos eixos coordenados, ele intercepta o eixo X no ponto
e o eixo Y no ponto
, mas não intercepta o eixo Z.
Exercícios relacionados
Determine as interseções dos planos com os eixos coordenados e represente graficamente:
Em cada parte, determine se a matriz está em forma escalonada, em forma escalonada reduzida, ambas ou nenhuma.
(h)
(h)
Determinar a posição relativa dos seguintes planos, em relação aos planos e eixos coordenados:
Sejam
e
vetores l.i… Seja
um vetor qualquer. Mostre que
.
Suponha que são também l.i… Mostre que,
.
Suponha que