Determinar a posição relativa dos seguintes planos, em relação aos planos e eixos coordenados:
3 x-2 y+6=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir como o plano se comporta em relação aos planos coordenados (como o plano XY, XZ e YZ) e aos eixos coordenados (X, Y e Z). Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações de planos e como identificar se eles são paralelos ou se cortam os planos e eixos coordenados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um plano no espaço tridimensional é definido por uma equação do tipo . No nosso caso, a equação é . Note que não tem termo de , o que significa que o coeficiente de é zero.

Passo 3

Agora, vamos analisar a posição desse plano em relação aos planos coordenados. Os planos coordenados são:
  • Plano XY:
  • Plano XZ:
  • Plano YZ:
Vamos ver se o nosso plano é paralelo a algum desses planos ou se eles se interceptam.

Passo 4

Para o plano ser paralelo a outro plano coordenado, os coeficientes das variáveis que não estão fixadas no plano coordenado devem ser iguais ou proporcionais. Vamos ver:
  • Relação com o plano XY ( ): Nosso plano tem e , mas não tem . Isso indica que o plano não é paralelo ao plano XY, e eles vão se interceptar em uma linha.
  • Relação com o plano XZ ( ): Se substituirmos na equação do nosso plano, temos . Isso significa que o plano corta o plano XZ em uma linha onde e pode ser qualquer valor. Portanto, não é paralelo.
  • Relação com o plano YZ ( ): Substituindo , temos . Assim, o plano corta o plano YZ em uma linha onde e é qualquer valor. Também não é paralelo.

Passo 5

Agora, vamos olhar para os eixos coordenados:
  • Eixo X: onde e . Substituindo na equação do plano, . Então, o ponto está no eixo X e pertence ao nosso plano.
  • Eixo Y: onde e . Substituindo, . Então, o ponto está no eixo Y e pertence ao plano.
  • Eixo Z: onde e . Substituindo, , o que não é possível. Isso significa que o plano não intercepta o eixo Z.

Resposta

O plano corta os planos coordenados XY, XZ e YZ em linhas, não sendo paralelo a nenhum deles. Em relação aos eixos coordenados, ele intercepta o eixo X no ponto e o eixo Y no ponto , mas não intercepta o eixo Z.

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Determine as interseções dos planos com os eixos coordenados e represente graficamente:
4 x+2 y+6 z=12
Em cada parte, determine se a matriz está em forma escalonada, em forma escalonada reduzida, ambas ou nenhuma.
(h) [rrrr1 & -2 & 0 & 3 0 & 0 & 1 & -2]
Determinar a posição relativa dos seguintes planos, em relação aos planos e eixos coordenados:
x-3 z=0
Sejam u e v vetores l.i… Seja x um vetor qualquer. Mostre que proju wed>= v x=[x, u, v]|u wed>= v|^2 cdot u wed>= v.
Suponha que w=alpha u+beta v e t=gamma u+de são também l.i… Mostre que, proju wed>= v x=projw wed>= t x.