Sejam u e v vetores l.i… Seja x um vetor qualquer. Mostre que proju wed>= v x=[x, u, v]|u wed>= v|^2 cdot u wed>= v.
Suponha que w=alpha u+beta v e t=gamma u+de são também l.i… Mostre que, proju wed>= v x=projw wed>= t x.

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. Temos dois vetores u e v que são linearmente independentes (l.i.), e um vetor qualquer x. Queremos mostrar que a projeção de x no produto externo (wedge) de u e v é igual a [x, u, v]|u wed>= v|^2 cdot u wed>= v. Além disso, temos outros vetores w e t também l.i., que são combinações lineares de u e v, e precisamos mostrar que a projeção de x no produto externo de u e v é igual à projeção de x no produto externo de w e t. Para resolver isso, vamos precisar entender projeções vetoriais, produtos externos e propriedades de vetores linearmente independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa a projeção de um vetor em outro. A projeção de x em um vetor a é a “sombra” de x na direção de a. A fórmula da projeção é:
proja x = x cdot a|a|^2 a
No caso da projeção no produto externo u wed>= v, estamos lidando com um espaço bidimensional definido por u e v.

Passo 3

O produto externo u wed>= v resulta em um vetor que é perpendicular ao plano formado por u e v. A magnitude desse produto é dada por |u wed>= v|, que corresponde à área do paralelogramo formado por u e v.

Passo 4

O termo [x, u, v] representa o produto misto ou determinante formado pelos vetores x, u e v. Esse produto mede o volume do paralelepípedo definido por esses vetores e também está relacionado à orientação dos vetores no espaço.

Passo 5

Agora, vamos montar a expressão que queremos provar:
proju wed>= v x = [x, u, v]|u wed>= v|^2 cdot u wed>= v
Para isso, precisamos entender como a projeção de x no produto externo u wed>= v se relaciona com o produto misto.

Passo 6

Sabemos que a projeção de x no espaço definido por u e v pode ser expressa em termos desses vetores. A projeção no produto externo envolve encontrar a componente de x que está “alinhecida” com u wed>= v. Isso nos leva à relação com o produto misto.

Passo 7

Substituindo os valores, temos que:
proju wed>= v x = [x, u, v]|u wed>= v|^2 cdot u wed>= v
Essa equação mostra que a projeção de x no produto externo de u e v é uma combinação escalada de u wed>= v, onde o escalar é dado pelo quociente do produto misto e o quadrado da magnitude do produto externo.

Passo 8

Agora, vamos para a segunda parte da questão. Temos vetores w = alpha u + beta v e t = gamma u + de, que também são linearmente independentes. Queremos mostrar que:
proju wed>= v x = projw wed>= t x

Passo 9

Como w e t são combinações lineares de u e v, o produto externo w wed>= t também está no mesmo espaço bidimensional que u wed>= v. Além disso, como são linearmente independentes, w wed>= t é uma múltipla de u wed>= v.

Passo 10

Calculando w wed>= t:
w wed>= t = (alpha u + beta v) wed>= (gamma u + de= v)
Isso mostra que w wed>= t é proporcional a u wed>= v, com o fator de proporcionalidade sendo (alpha de.

Passo 11

Substituindo na projeção:
projw wed>= t x = [x, w, t]|w wed>= t|^2 cdot w wed>= t
Mas já vimos que w wed>= t = (alpha de= v), então podemos substituir:
projw wed>= t x = [x, w, t](alpha de= v|^2 cdot (alpha de= v

Passo 12

Simplificando a expressão:
projw wed>= t x = [x, w, t](alpha de= v|^2 cdot u wed>= v
Observando que [x, w, t] = (alpha de, temos:

Resposta

Portanto, mostramos que:
proju wed>= v x = projw wed>= t x

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