Sejam
e
vetores l.i… Seja
um vetor qualquer. Mostre que
.
Suponha que
são também l.i… Mostre que,
.
Suponha que
Passo 1
Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. Temos dois vetores
e
que são linearmente independentes (l.i.), e um vetor qualquer
. Queremos mostrar que a projeção de
no produto externo (wedge) de
e
é igual a
. Além disso, temos outros vetores
e
também l.i., que são combinações lineares de
e
, e precisamos mostrar que a projeção de
no produto externo de
e
é igual à projeção de
no produto externo de
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender projeções vetoriais, produtos externos e propriedades de vetores linearmente independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa a projeção de um vetor em outro. A projeção de
em um vetor
é a “sombra” de
na direção de
. A fórmula da projeção é:
No caso da projeção no produto externo
, estamos lidando com um espaço bidimensional definido por
e
.
Passo 3
O produto externo
resulta em um vetor que é perpendicular ao plano formado por
e
. A magnitude desse produto é dada por
, que corresponde à área do paralelogramo formado por
e
.
Passo 4
O termo
representa o produto misto ou determinante formado pelos vetores
,
e
. Esse produto mede o volume do paralelepípedo definido por esses vetores e também está relacionado à orientação dos vetores no espaço.
Passo 5
Agora, vamos montar a expressão que queremos provar:
Para isso, precisamos entender como a projeção de
no produto externo
se relaciona com o produto misto.
Passo 6
Sabemos que a projeção de
no espaço definido por
e
pode ser expressa em termos desses vetores. A projeção no produto externo envolve encontrar a componente de
que está “alinhecida” com
. Isso nos leva à relação com o produto misto.
Passo 7
Substituindo os valores, temos que:
Essa equação mostra que a projeção de
no produto externo de
e
é uma combinação escalada de
, onde o escalar é dado pelo quociente do produto misto e o quadrado da magnitude do produto externo.
Passo 8
Agora, vamos para a segunda parte da questão. Temos vetores
e
, que também são linearmente independentes. Queremos mostrar que:
Passo 9
Como
e
são combinações lineares de
e
, o produto externo
também está no mesmo espaço bidimensional que
. Além disso, como são linearmente independentes,
é uma múltipla de
.
Passo 10
Calculando
:
Isso mostra que
é proporcional a
, com o fator de proporcionalidade sendo
.
Passo 11
Substituindo na projeção:
Mas já vimos que
, então podemos substituir:
Passo 12
Simplificando a expressão:
Observando que
, temos:
Resposta
Portanto, mostramos que:
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Calcule
.