Determinar a posição relativa dos seguintes planos, em relação aos planos e eixos coordenados:
x-3 z=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir como o plano dado, que é , está posicionado em relação aos planos coordenados e aos eixos. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como interseções de planos e propriedades dos eixos coordenados.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar onde esse plano intercepta os eixos coordenados. Lembra que para encontrar a interseção com um eixo, a gente define os outros dois coordenadas como zero.
  • Interseção com o eixo x: Aqui, x - 3(0) = 0 Rightarrow x = 0 e 0 - 3(0) = 0 Rightarrow 0 = 0 .
    0 - 3z = 0 Rightarrow z = 0
    Então, a interseção é no ponto .
  • Interseção com o eixo y: Para esse caso, e .
    Isso significa que o plano contém todo o eixo y, ou seja, ele passa por todos os pontos do eixo y.
  • Interseção com o eixo z: Aqui, e .
    Novamente, a interseção é no ponto .

Passo 3

Agora que sabemos as interseções, vamos ver como o plano está posicionado em relação aos planos coordenados (xy, yz e xz).
  • Plano xy (z = 0): Substituindo x - 3(0) = x = 0 na equação do plano:
    0 - 3z = -3z = 0 Rightarrow z = 0
    Isso mostra que o plano x - 3z = 0 intercepta o plano xy na linha , que é o eixo y.
  • Plano yz (x = 0): Substituindo :
    Assim, o plano intercepta o plano yz no ponto .
  • Plano xz (y = 0): Substituindo , não há alteração na equação original:
    Isso significa que o plano intersecta o plano xz em toda a linha definida por essa equação.

Passo 4

Por último, vamos analisar se o plano é paralelo a algum eixo ou plano coordenado.
  • Paralelismo com eixos: Como o plano contém o eixo y, ele não é paralelo a ele. Também não é paralelo aos eixos x ou z, já que intercepta esses eixos apenas na origem.
  • Paralelismo com planos coordenados: O plano não é paralelo a nenhum dos planos coordenados (xy, yz, xz) porque ele intercepta cada um deles em pelo menos uma linha ou ponto.

Resposta

O plano intercepta o eixo y e intersecta os planos coordenados xy e xz ao longo do eixo y e da linha , respectivamente. O plano não é paralelo a nenhum dos eixos coordenados nem aos planos coordenados.

Exercícios relacionados

Determinar a posição relativa dos seguintes planos, em relação aos planos e eixos coordenados:
3 x-2 y+6=0
Determine as interseções dos planos com os eixos coordenados e represente graficamente:
4 x+2 y+6 z=12
Sejam u e v vetores l.i… Seja x um vetor qualquer. Mostre que proju wed>= v x=[x, u, v]|u wed>= v|^2 cdot u wed>= v.
Suponha que w=alpha u+beta v e t=gamma u+de são também l.i… Mostre que, proju wed>= v x=projw wed>= t x.
Determinar a posição relativa dos seguintes planos, em relação aos planos e eixos coordenados:
y=0