Determinar a posição relativa dos seguintes planos, em relação aos planos e eixos coordenados:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir como o plano dado, que é
, está posicionado em relação aos planos coordenados e aos eixos. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como interseções de planos e propriedades dos eixos coordenados.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar onde esse plano intercepta os eixos coordenados. Lembra que para encontrar a interseção com um eixo, a gente define os outros dois coordenadas como zero.
-
Interseção com o eixo x: Aqui,
e . Então, a interseção é no ponto. -
Interseção com o eixo y: Para esse caso,
e . Isso significa que o plano contém todo o eixo y, ou seja, ele passa por todos os pontos do eixo y. -
Interseção com o eixo z: Aqui,
e . Novamente, a interseção é no ponto.
Passo 3
Agora que sabemos as interseções, vamos ver como o plano está posicionado em relação aos planos coordenados (xy, yz e xz).
-
Plano xy (z = 0): Substituindo
na equação do plano: Isso mostra que o planointercepta o plano xy na linha , que é o eixo y. -
Plano yz (x = 0): Substituindo
: Assim, o plano intercepta o plano yz no ponto. -
Plano xz (y = 0): Substituindo
, não há alteração na equação original: Isso significa que o planointersecta o plano xz em toda a linha definida por essa equação.
Passo 4
Por último, vamos analisar se o plano
é paralelo a algum eixo ou plano coordenado.
-
Paralelismo com eixos: Como o plano contém o eixo y, ele não é paralelo a ele. Também não é paralelo aos eixos x ou z, já que intercepta esses eixos apenas na origem.
-
Paralelismo com planos coordenados: O plano não é paralelo a nenhum dos planos coordenados (xy, yz, xz) porque ele intercepta cada um deles em pelo menos uma linha ou ponto.
Resposta
O plano
intercepta o eixo y e intersecta os planos coordenados xy e xz ao longo do eixo y e da linha
, respectivamente. O plano não é paralelo a nenhum dos eixos coordenados nem aos planos coordenados.
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Determinar a posição relativa dos seguintes planos, em relação aos planos e eixos coordenados:
Determine as interseções dos planos com os eixos coordenados e represente graficamente:
Sejam
e
vetores l.i… Seja
um vetor qualquer. Mostre que
.
Suponha que são também l.i… Mostre que,
.
Suponha que
Determinar a posição relativa dos seguintes planos, em relação aos planos e eixos coordenados: