Seja T: V V um operador linear. Mostre que se dim(Im T)=m, então T tem no máximo m+1 autovalores.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um operador linear e sabe que a dimensão da imagem de é . O que precisamos mostrar é que pode ter no máximo autovalores. Vamos usar conceitos de teoria de espaços vetoriais e autovalores para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a imagem de , , é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como para algum em . A dimensão dessa imagem sendo nos dá uma ideia de quão “grande” é o espaço que consegue alcançar.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre autovalores. Um autovalor de é um escalar tal que existe um vetor não nulo em com . Queremos determinar quantos desses diferentes pode ter no máximo.

Passo 4

Como é um operador linear em , podemos pensar no polinômio característico de , que é dado por . Esse polinômio tem grau igual à dimensão de , mas vamos usar outra abordagem aqui.

Passo 5

Sabemos que o núcleo de (o conjunto de vetores que manda para zero) e a imagem de estão relacionados pela fórmula . Entretanto, como a imagem tem dimensão , o núcleo tem dimensão .

Passo 6

Cada autovalor está associado a pelo menos uma dimensão no núcleo de . Então, se tem muitos autovalores distintos, isso implica que o núcleo de é maior, ou seja, a dimensão de aumenta.

Passo 7

Como a soma das dimensões dos núcleos para diferentes não pode exceder a dimensão total do espaço , temos que o número de autovalores distintos não pode ser muito grande. Especificamente, se a imagem de tem dimensão , isso limita o número de possíveis autovalores.

Passo 8

Finalmente, combinando essas ideias, chegamos à conclusão de que não pode ter mais de autovalores distintos, já que isso garantiria que as dimensões dos núcleos não ultrapassem a dimensão do espaço.

Resposta

Portanto, se , então o operador linear tem no máximo autovalores.

Exercícios relacionados

Seja P=(3,4,-1).
© Encontre a distancia de P a origem O=(0,0,0).
Sejam T: V V um operador linear e p(x) seu polinômio característico. Mostre que se p(x)=(x-lambda1) cdots (x-lambdak), então T é diagonalizável.
Determinar, se possível, a inversa de cada matriz a seguir:
(b) B=(llll1 & 0 & 0 & 0 1 & 2 & 0 & 0 1 & 2 & 4 & 0 1 & 2 & 4 & 8); Resp.: B^-1=(cccc1 & 0 & 0 & 0 -1 / 2 & 1 / 2 & 0 & 0 0 & -1 / 4 & 1 / 4 & 0 0 & 0 & -1 / 8 & 1 / 8)
Mostre o que se pede abaixo
  • (a) Mostre que se B, M in Mn(K), com M invertível, então (M^-1 B M)^k=M^-1 B^k M