Seja um operador linear. Mostre que se , então tem no máximo autovalores.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um operador linear e sabe que a dimensão da imagem de é . O que precisamos mostrar é que pode ter no máximo autovalores. Vamos usar conceitos de teoria de espaços vetoriais e autovalores para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a imagem de , , é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como para algum em . A dimensão dessa imagem sendo nos dá uma ideia de quão “grande” é o espaço que consegue alcançar.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre autovalores. Um autovalor de é um escalar tal que existe um vetor não nulo em com . Queremos determinar quantos desses diferentes pode ter no máximo.
Passo 4
Como é um operador linear em , podemos pensar no polinômio característico de , que é dado por . Esse polinômio tem grau igual à dimensão de , mas vamos usar outra abordagem aqui.
Passo 5
Sabemos que o núcleo de (o conjunto de vetores que manda para zero) e a imagem de estão relacionados pela fórmula . Entretanto, como a imagem tem dimensão , o núcleo tem dimensão .
Passo 6
Cada autovalor está associado a pelo menos uma dimensão no núcleo de . Então, se tem muitos autovalores distintos, isso implica que o núcleo de é maior, ou seja, a dimensão de aumenta.
Passo 7
Como a soma das dimensões dos núcleos para diferentes não pode exceder a dimensão total do espaço , temos que o número de autovalores distintos não pode ser muito grande. Especificamente, se a imagem de tem dimensão , isso limita o número de possíveis autovalores.
Passo 8
Finalmente, combinando essas ideias, chegamos à conclusão de que não pode ter mais de autovalores distintos, já que isso garantiria que as dimensões dos núcleos não ultrapassem a dimensão do espaço.
Resposta
Portanto, se , então o operador linear tem no máximo autovalores.