Seja
um operador linear. Mostre que se
, então
tem no máximo
autovalores.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um operador linear
e sabe que a dimensão da imagem de
é
. O que precisamos mostrar é que
pode ter no máximo
autovalores. Vamos usar conceitos de teoria de espaços vetoriais e autovalores para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a imagem de
,
, é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como
para algum
em
. A dimensão dessa imagem sendo
nos dá uma ideia de quão “grande” é o espaço que
consegue alcançar.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre autovalores. Um autovalor de
é um escalar
tal que existe um vetor não nulo
em
com
. Queremos determinar quantos desses
diferentes
pode ter no máximo.
Passo 4
Como
é um operador linear em
, podemos pensar no polinômio característico de
, que é dado por
. Esse polinômio tem grau igual à dimensão de
, mas vamos usar outra abordagem aqui.
Passo 5
Sabemos que o núcleo de
(o conjunto de vetores que
manda para zero) e a imagem de
estão relacionados pela fórmula
. Entretanto, como a imagem tem dimensão
, o núcleo tem dimensão
.
Passo 6
Cada autovalor
está associado a pelo menos uma dimensão no núcleo de
. Então, se
tem muitos autovalores distintos, isso implica que o núcleo de
é maior, ou seja, a dimensão de
aumenta.
Passo 7
Como a soma das dimensões dos núcleos para diferentes
não pode exceder a dimensão total do espaço
, temos que o número de autovalores distintos não pode ser muito grande. Especificamente, se a imagem de
tem dimensão
, isso limita o número de possíveis autovalores.
Passo 8
Finalmente, combinando essas ideias, chegamos à conclusão de que
não pode ter mais de
autovalores distintos, já que isso garantiria que as dimensões dos núcleos não ultrapassem a dimensão do espaço.
Resposta
Portanto, se
, então o operador linear
tem no máximo
autovalores.