Determinar, se possível, a inversa de cada matriz a seguir:
(d) D=(ccc1 & 0 & 1 -1 & 1 & 1 0 & 1 & 0). Resp.: D^-1=(ccc1 / 2 & -1 / 2 & 1 / 2 0 & 0 & 1 1 / 2 & 1 / 2 & -1 / 2)

Passo 1

Então, a gente tem uma matriz D = 1 & 0 & 1 -1 & 1 & 1 0 & 1 & 0 que é:
O objetivo aqui é descobrir se essa matriz tem uma inversa. Se tiver, a gente vai encontrar essa matriz inversa. A matéria que vamos usar é de álgebra linear, especificamente sobre matrizes e suas inversas. Vamos precisar calcular o determinante de e depois usar esse determinante para encontrar a inversa, se for possível.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz det(D) = 1 cdot 1 & 1 1 & 0 - 0 cdot -1 & 1 0 & 0 + 1 cdot -1 & 1 0 & 1 . O determinante é um número que a gente calcula a partir da matriz e que nos diz várias propriedades dela, inclusive se a matriz tem ou não uma inversa. Se o determinante for diferente de zero, a inversa existe.
Para uma matriz 1 & 1 1 & 0 = (1 cdot 0) - (1 cdot 1) = -1 , o determinante pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos fazer a expansão por cofatores:
-1 & 1 0 & 1 = (-1 cdot 1) - (1 cdot 0) = -1
Calculando os menores:
det(D) = 1 cdot (-1) - 0 cdot (qualquer coisa) + 1 cdot (-1) = -1 + 0 -1 = -2
Agora, substituindo de volta:
Como o determinante é (diferente de zero), a matriz tem inversa.

Passo 3

Agora que sabemos que D^-1 = 1det(D) cdot adj(D) tem inversa, vamos calcular essa inversa. A fórmula para a inversa de uma matriz é:
Onde é a matriz adjunta de , que é a transposta da matriz dos cofatores de .
Primeiro, vamos encontrar a matriz dos cofatores de .

Passo 4

Vamos calcular os cofatores de cada elemento de Cij = (-1)^i+j cdot Mij . O cofator M11 = 1 & 1 1 & 0 = (1 cdot 0) - (1 cdot 1) = -1 é dado por:
C11 = (-1)^1+1 cdot (-1) = 1 cdot (-1) = -1
Onde M12 = -1 & 1 0 & 0 = (-1 cdot 0) - (1 cdot 0) = 0 é o menor de C12 = (-1)^1+2 cdot 0 = -1 cdot 0 = 0 eliminando a M13 = -1 & 1 0 & 1 = (-1 cdot 1) - (1 cdot 0) = -1 -ésima linha e a C13 = (-1)^1+3 cdot (-1) = -1 cdot (-1) = 1 -ésima coluna.
Vamos calcular cada cofator:
  1. Cofator M21 = 0 & 1 1 & 0 = (0 cdot 0) - (1 cdot 1) = -1 :
    C21 = (-1)^2+1 cdot (-1) = -1 cdot (-1) = 1
    M22 = 1 & 1 0 & 0 = (1 cdot 0) - (1 cdot 0) = 0
  2. Cofator C22 = (-1)^2+2 cdot 0 = 1 cdot 0 = 0 :
    M23 = 1 & 0 0 & 1 = (1 cdot 1) - (0 cdot 0) = 1
    C23 = (-1)^2+3 cdot 1 = -1 cdot 1 = -1
  3. Cofator M31 = 0 & 1 1 & 1 = (0 cdot 1) - (1 cdot 1) = -1 :
    C31 = (-1)^3+1 cdot (-1) = 1 cdot (-1) = -1
    M32 = 1 & 1 -1 & 1 = (1 cdot 1) - (1 cdot -1) = 1 + 1 = 2
  4. Cofator C32 = (-1)^3+2 cdot 2 = -1 cdot 2 = -2 :
    M33 = 1 & 0 -1 & 1 = (1 cdot 1) - (0 cdot -1) = 1
    C33 = (-1)^3+3 cdot 1 = 1 cdot 1 = 1
  5. Cofator Cof(D) = -1 & 0 & 1 1 & 0 & -1 -1 & -2 & 1 :
  6. Cofator :
  7. Cofator :
  8. Cofator :
  9. Cofator :
Agora, a matriz dos cofatores fica:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a matriz adjunta adj(D) = Cof(D)^T = -1 & 1 & -1 0 & 0 & -2 1 & -1 & 1 , que é a transposta da matriz dos cofatores:

Passo 6

Finalmente, usando a fórmula da inversa:
D^-1 = 1det(D) cdot adj(D) = 1-2 cdot -1 & 1 & -1 0 & 0 & -2 1 & -1 & 1
Distribuindo o D^-1 = -1-2 & 1-2 & -1-2 0-2 & 0-2 & -2-2 1-2 & -1-2 & 1-2 = 12 & -12 & 12 0 & 0 & 1 -12 & 12 & -12 :

Resposta

D^-1 = 12 & -12 & 12 0 & 0 & 1 -12 & 12 & -12

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