Verifique se as funções abaixo são transformações lineares: definida por
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por . A pergunta é: essa função é uma transformação linear?
Para resolver isso, precisamos lembrar o que é uma transformação linear. Basicamente, uma transformação é linear se ela cumprir duas propriedades principais:
Adição: para quaisquer vetores e .
Multiplicação por escalar: para qualquer vetor e escalar .
Vamos verificar se a função atende a essas propriedades.
Passo 2
Primeiro, observamos a função . Vamos ver se ela passa pelo teste da adição.
Seja e . Então:
Por outro lado:
Comparando os dois resultados:
A primeira componente de é , enquanto a primeira componente de é . Já encontramos uma diferença!
Passo 3
Além disso, vamos verificar a propriedade da multiplicação por escalar. Seja um escalar e . Então:
E:
Aqui, a primeira componente de é , enquanto a primeira componente de é . A não ser que , essas duas não são iguais.