Sejam subespaços vetoriais de um espaço vetorial de dimensão . Supondo que dim e , mostre que .
Passo 1
Resumo do problema: Temos dois subespaços vetoriais e de um espaço vetorial de dimensão . Sabendo que e , queremos mostrar que a intersecção não é apenas o vetor nulo.
Assunto: Teoria dos espaços vetoriais, especificamente sobre a dimensão e intersecção de subespaços.
O que vamos precisar: A fórmula da dimensão da soma de subespaços e entender como aplicar desigualdades de dimensão para chegar à conclusão desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula da dimensão da soma de dois subespaços:
Essa fórmula relaciona as dimensões dos subespaços e com a dimensão de sua intersecção.
Passo 3
Sabemos que a soma dos subespaços está contida no espaço vetorial de dimensão , então:
Isso significa que a dimensão da soma não pode exceder a dimensão do espaço original.
Passo 4
Substituindo a fórmula da dimensão da soma na desigualdade, temos:
Passo 5
Vamos reorganizar essa inequação para isolar :
Isso nos dá uma relação inferior para a dimensão da intersecção dos dois subespaços.
Passo 6
Sabemos que e . Somando essas duas desigualdades:
Passo 7
Substituindo esse resultado na desigualdade que obtivemos no Passo 5: