Determinar, se possível, a matriz inversa das matrizes dadas.
B=(rrr2 & 1 & 3 2 & 3 & -2 -1 & 0 & -3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear! A questão pede para determinar se a matriz tem uma inversa e, se sim, encontrar essa matriz inversa. Para isso, vamos precisar calcular o determinante da matriz e, se o determinante for diferente de zero, poderemos seguir em frente para achar a inversa usando a matriz adjunta.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz B = 2 & 1 & 3 2 & 3 & -2 -1 & 0 & -3 . O determinante é uma função que atribui um número a uma matriz quadrada e nos ajuda a saber se a matriz tem inversa. Se o determinante for diferente de zero, a matriz é inversível.
A matriz det(B) = 2 cdot 3 cdot (-3) + 1 cdot (-2) cdot (-1) + 3 cdot 2 cdot 0 - 3 cdot 3 cdot (-1) - 1 cdot 2 cdot (-3) - 2 cdot (-2) cdot 0 é:
= 2 times 3 times (-3) = -18
Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, usamos a regra de Sarrus ou a expansão por menores. Vamos usar a regra de Sarrus aqui.
Calculando o determinante:
+ 1 times (-2) times (-1) = +2
Vamos calcular cada termo:
+ 3 times 2 times 0 = 0
- 3 times 3 times (-1) = +9
- 1 times 2 times (-3) = +6
- 2 times (-2) times 0 = 0
-18 + 2 + 0 + 9 + 6 + 0 = -1
Somando tudo:
Então, .

Passo 3

Como o determinante de é , que é diferente de zero ( ), isso significa que a matriz possui uma inversa. Agora, vamos calcular essa inversa.

Passo 4

Para encontrar a matriz inversa, precisamos calcular a matriz adjunta de C11 = (-1)^1+1 cdot 3 & -2 0 & -3 = 1 cdot (3 times (-3) - (-2) times 0) = 1 cdot (-9) = -9 . A matriz adjunta é a transposta da matriz de cofatores de C12 = (-1)^1+2 cdot 2 & -2 -1 & -3 = -1 cdot (2 times (-3) - (-2) times (-1)) = -1 cdot (-6 - 2) = -1 cdot (-8) = 8 .
Vamos encontrar os cofatores de cada elemento de C13 = (-1)^1+3 cdot 2 & 3 -1 & 0 = 1 cdot (2 times 0 - 3 times (-1)) = 1 cdot (0 + 3) = 3 :
  1. Cofator C21 = (-1)^2+1 cdot 1 & 3 0 & -3 = -1 cdot (1 times (-3) - 3 times 0) = -1 cdot (-3) = 3 :
C22 = (-1)^2+2 cdot 2 & 3 -1 & -3 = 1 cdot (2 times (-3) - 3 times (-1)) = 1 cdot (-6 + 3) = -3
  1. Cofator C23 = (-1)^2+3 cdot 2 & 1 -1 & 0 = -1 cdot (2 times 0 - 1 times (-1)) = -1 cdot (0 + 1) = -1 :
C31 = (-1)^3+1 cdot 1 & 3 3 & -2 = 1 cdot (1 times (-2) - 3 times 3) = 1 cdot (-2 - 9) = -11
  1. Cofator C32 = (-1)^3+2 cdot 2 & 3 2 & -2 = -1 cdot (2 times (-2) - 3 times 2) = -1 cdot (-4 - 6) = -1 cdot (-10) = 10 :
C33 = (-1)^3+3 cdot 2 & 1 2 & 3 = 1 cdot (2 times 3 - 1 times 2) = 1 cdot (6 - 2) = 4
  1. Cofator Cof(B) = -9 & 8 & 3 3 & -3 & -1 -11 & 10 & 4 :
Adj(B) = -9 & 3 & -11 8 & -3 & 10 3 & -1 & 4
  1. Cofator :
  1. Cofator :
  1. Cofator :
  1. Cofator :
  1. Cofator :
Agora, a matriz de cofatores é:
A matriz adjunta é a transposta da matriz de cofatores:

Passo 5

Agora que temos a matriz adjunta, podemos encontrar a inversa de B^-1 = 1det(B) cdot Adj(B) usando a fórmula:
B^-1 = 1-1 cdot -9 & 3 & -11 8 & -3 & 10 3 & -1 & 4 = 9 & -3 & 11 -8 & 3 & -10 -3 & 1 & -4
Sabemos que , então:

Resposta

A matriz inversa de B^-1 = 9 & -3 & 11 -8 & 3 & -10 -3 & 1 & -4 é:

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