Determinar, se possível, a matriz inversa das matrizes dadas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear! A questão pede para determinar se a matriz tem uma inversa e, se sim, encontrar essa matriz inversa. Para isso, vamos precisar calcular o determinante da matriz e, se o determinante for diferente de zero, poderemos seguir em frente para achar a inversa usando a matriz adjunta.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz . O determinante é uma função que atribui um número a uma matriz quadrada e nos ajuda a saber se a matriz tem inversa. Se o determinante for diferente de zero, a matriz é inversível.
A matriz é:
Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, usamos a regra de Sarrus ou a expansão por menores. Vamos usar a regra de Sarrus aqui.
Calculando o determinante:
Vamos calcular cada termo:
Somando tudo:
Então, .

Passo 3

Como o determinante de é , que é diferente de zero ( ), isso significa que a matriz possui uma inversa. Agora, vamos calcular essa inversa.

Passo 4

Para encontrar a matriz inversa, precisamos calcular a matriz adjunta de . A matriz adjunta é a transposta da matriz de cofatores de .
Vamos encontrar os cofatores de cada elemento de :
  1. Cofator :
  1. Cofator :
  1. Cofator :
  1. Cofator :
  1. Cofator :
  1. Cofator :
  1. Cofator :
  1. Cofator :
  1. Cofator :
Agora, a matriz de cofatores é:
A matriz adjunta é a transposta da matriz de cofatores:

Passo 5

Agora que temos a matriz adjunta, podemos encontrar a inversa de usando a fórmula:
Sabemos que , então:

Resposta

A matriz inversa de é:

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(e) e .
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(b) .
Dadas as matrizes e , determine, se possível: