Nos itens a seguir são apresentados um conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas. Verifique s eles são espaços vetoriais. Para aquele que não for, citar os axiomas que não se verificam.
(e) e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício de Álgebra Linear que pede para verificar se um conjunto com certas operações de adição e multiplicação por escalar forma um espaço vetorial. Para isso, vamos precisar revisar os axiomas de um espaço vetorial e checar um a um se essas operações os satisfazem.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as operações definidas no conjunto :
Adição:
Multiplicação por escalar:
Essas operações não são as padrão que conhecemos no , então precisamos verificar se elas ainda cumprem os requisitos para que seja um espaço vetorial.
Passo 3
Vamos revisar os axiomas de um espaço vetorial. Existem 8 axiomas principais que devem ser satisfeitos:
Comutatividade da adição:
Associatividade da adição:
Elemento neutro da adição: Existe um vetor tal que
Elemento inverso da adição: Para todo , existe tal que
Compatibilidade com a multiplicação por escalar:
Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores:
Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares:
Identidade multiplicativa:
Vamos checar cada um desses axiomas com as operações definidas no enunciado.
Passo 4
1. Comutatividade da adição
Vamos verificar se .
Seja e .
Calculando
E
Observamos que , , e , então:
Conclusão: A comutatividade da adição é satisfeita.
Passo 5
2. Associatividade da adição
Vamos verificar se .
Seja .
Calculando
Então,
Agora,
E
Comparando os dois resultados, temos
Conclusão: A associatividade da adição é satisfeita.
Passo 6
3. Elemento neutro da adição
Precisamos encontrar um vetor tal que .
Calculando
Para que isso seja igual a , precisamos que:
A primeira equação implica que , e a segunda implica . Isso só é válido para o vetor zero , mas pode ser qualquer valor, o que não satisfaz a condição para todo .
Conclusão: Não existe um elemento neutro que funcione para todos os vetores em com as operações definidas.
Passo 7
4. Elemento inverso da adição
Mesmo já sabendo que não existe um elemento neutro adequado, vamos tentar encontrar o inverso aditivo para um vetor .
Queremos .
Calculando
Isso resulta em , que deve ser igual a .
Novamente, isso impõe , , e . Não há uma solução consistente para todos os vetores .
Conclusão: O elemento inverso da adição não existe para todos os vetores em .
Passo 8
5. Compatibilidade com a multiplicação por escalar
Vamos verificar se .
Calculando
Então,
E
Comparando, vemos que o terceiro componente não é igual a , a menos que ou , o que não é geral.
Conclusão: A compatibilidade com a multiplicação por escalar não é satisfeita.
Passo 9
6. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores
Verificamos se .
Calculando
Então,
Agora,
Apesar do primeiro componente estar correto, o fato de termos sugere uma dependência não linear, mas de qualquer forma, iguala-se em geral.
Conclusão: A distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores é satisfeita.
Passo 10
7. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares
Vamos ver se .
Calculando
E
Observamos que o terceiro componente não é igual a , exceto quando .
Conclusão: A distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares não é satisfeita.
Passo 11
8. Identidade multiplicativa
Vamos checar se .
Calculando
Para que seja igual a , precisamos que e . Isso só é possível se e , o que não vale para todos os vetores.
Conclusão: A identidade multiplicativa não é satisfeita.
Resposta
Não, o conjunto com as operações definidas não é um espaço vetorial. Os axiomas que não se verificam são:
Elemento neutro da adição
Elemento inverso da adição
Compatibilidade com a multiplicação por escalar
Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares