Nos itens a seguir são dados um espaço vetorial
e um subconjunto
de
. Verifique se
é um subespaço vetorial de
.
(b)
.
(b)
Passo 1
Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial
com as operações de adição e multiplicação por escalar. O subconjunto
é definido como todos os vetores
em
que satisfazem a condição
. Nosso objetivo é verificar se
é um subespaço vetorial de
. Para isso, precisamos lembrar quais são os critérios que definem um subespaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para um subconjunto
de um espaço vetorial
ser considerado um subespaço, ele deve satisfazer três condições principais:
- Contém o vetor zero: O vetor
deve estar em . - Fechado sob adição: Se
e estão em , então também deve estar em . - Fechado sob multiplicação por escalar: Se
está em e é um escalar, então também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto
.
Passo 3
1. Verificar se
contém o vetor zero:
O vetor zero em é
. Vamos ver se ele satisfaz a condição
:
O vetor zero em
Como a condição é verdadeira, o vetor zero está em
.
2. Verificar se
é fechado sob adição:
Vamos considerar dois vetores quaisquer e
em
. Isso significa que:
Vamos considerar dois vetores quaisquer
Agora, somando
e
:
Vamos verificar se a soma também está em
:
Aqui, temos que
, mas a condição para
é
. Portanto, a soma
não necessariamente pertence a
.
3. Verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar:
Mesmo que já tenhamos encontrado que não é fechado sob adição, vamos verificar a multiplicação por escalar para completar.
Mesmo que já tenhamos encontrado que
Considere um vetor
e um escalar
. Então:
Vamos verificar a condição:
Se
, por exemplo, isso pode violar a condição
. Portanto,
não é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como o subconjunto
não satisfaz as propriedades de fechamento sob adição e multiplicação por escalar, concluímos que
não é um subespaço vetorial de
.