Nos itens a seguir são dados um espaço vetorial V e um subconjunto W de V. Verifique se W é um subespaço vetorial de V.
(b) * V=(R^3,+, cdot) ; W=(x, y, z) in R^3 / x+y+z <= 1.

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial com as operações de adição e multiplicação por escalar. O subconjunto é definido como todos os vetores em que satisfazem a condição . Nosso objetivo é verificar se é um subespaço vetorial de . Para isso, precisamos lembrar quais são os critérios que definem um subespaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para um subconjunto de um espaço vetorial ser considerado um subespaço, ele deve satisfazer três condições principais:
  1. Contém o vetor zero: O vetor deve estar em .
  2. Fechado sob adição: Se e estão em , então também deve estar em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se está em e é um escalar, então também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto .

Passo 3

1. Verificar se 0 + 0 + 0 = 0 <= 1 contém o vetor zero:
O vetor zero em x1 + y1 + z1 <= 1 é x2 + y2 + z2 <= 1 . Vamos ver se ele satisfaz a condição u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) :
(x1 + x2) + (y1 + y2) + (z1 + z2) = (x1 + y1 + z1) + (x2 + y2 + z2) <= 1 + 1 = 2
Como a condição é verdadeira, o vetor zero está em c cdot u = (c cdot x, c cdot y, c cdot z) .
2. Verificar se c cdot x + c cdot y + c cdot z = c(x + y + z) <= c cdot 1 é fechado sob adição:
Vamos considerar dois vetores quaisquer e em . Isso significa que:
Agora, somando e :
Vamos verificar se a soma também está em :
Aqui, temos que , mas a condição para é . Portanto, a soma não necessariamente pertence a .
3. Verificar se é fechado sob multiplicação por escalar:
Mesmo que já tenhamos encontrado que não é fechado sob adição, vamos verificar a multiplicação por escalar para completar.
Considere um vetor e um escalar . Então:
Vamos verificar a condição:
Se , por exemplo, isso pode violar a condição . Portanto, não é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como o subconjunto não satisfaz as propriedades de fechamento sob adição e multiplicação por escalar, concluímos que não é um subespaço vetorial de .

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