Nos itens a seguir são dados um espaço vetorial e um subconjunto de . Verifique se é um subespaço vetorial de .
(b) .
Passo 1
Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial com as operações de adição e multiplicação por escalar. O subconjunto é definido como todos os vetores em que satisfazem a condição . Nosso objetivo é verificar se é um subespaço vetorial de . Para isso, precisamos lembrar quais são os critérios que definem um subespaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para um subconjunto de um espaço vetorial ser considerado um subespaço, ele deve satisfazer três condições principais:
Contém o vetor zero: O vetor deve estar em .
Fechado sob adição: Se e estão em , então também deve estar em .
Fechado sob multiplicação por escalar: Se está em e é um escalar, então também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto .
Passo 3
1. Verificar se contém o vetor zero:
O vetor zero em é . Vamos ver se ele satisfaz a condição :
Como a condição é verdadeira, o vetor zero está em .
2. Verificar se é fechado sob adição:
Vamos considerar dois vetores quaisquer e em . Isso significa que:
Agora, somando e :
Vamos verificar se a soma também está em :
Aqui, temos que , mas a condição para é . Portanto, a soma não necessariamente pertence a .
3. Verificar se é fechado sob multiplicação por escalar:
Mesmo que já tenhamos encontrado que não é fechado sob adição, vamos verificar a multiplicação por escalar para completar.
Considere um vetor e um escalar . Então:
Vamos verificar a condição:
Se , por exemplo, isso pode violar a condição . Portanto, não é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como o subconjunto não satisfaz as propriedades de fechamento sob adição e multiplicação por escalar, concluímos que não é um subespaço vetorial de .