Verificar se os polinômios e geram o espaço vetorial . O polinômio pertence ao subespaço gerado por estes polinômios?
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos quatro polinômios: , , e . A pergunta é duas coisas: primeiro, se esses polinômios conseguem gerar todo o espaço vetorial , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 3. Segundo, se o polinômio está dentro do subespaço gerado por esses quatro polinômios. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de espaços vetoriais, geração e combinação linear de vetores (ou polinômios, no caso).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que esses polinômios “geram” o espaço . Em termos simples, isso quer dizer que qualquer polinômio de grau até 3 pode ser escrito como uma combinação linear desses quatro polinômios. Uma combinação linear significa que a gente multiplica cada polinômio por um número (chamado de coeficiente) e depois soma tudo. Se conseguimos fazer isso para qualquer polinômio em , então esses quatro polinômios realmente geram o espaço.
Passo 3
Para verificar se os polinômios , , e geram , precisamos ver se eles são linearmente independentes e se o número de polinômios é igual à dimensão de . A dimensão de é 4 porque precisamos de quatro polinômios para formar uma base (por exemplo, , , , ). Então, se nossos quatro polinômios forem linearmente independentes, eles formarão uma base e, portanto, gerarão todo o espaço .
Passo 4
Vamos testar a linearidade desses polinômios. Queremos ver se existe uma combinação linear não trivial (ou seja, com pelo menos um coeficiente diferente de zero) que resulte no polinômio zero. Escrevendo isso, temos:
Substituindo os polinômios:
Vamos distribuir os coeficientes e agrupar termos semelhantes:
Para que isso seja igual a zero para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero:
Resolvendo esse sistema de equações, vemos que a única solução é . Isso significa que os polinômios são linearmente independentes.
Passo 5
Como temos quatro polinômios linearmente independentes em um espaço de dimensão 4 (), isso confirma que eles geram todo o espaço . Ou seja, qualquer polinômio de grau até 3 pode ser escrito como uma combinação linear desses quatro polinômios.
Passo 6
Agora, vamos verificar se o polinômio está no subespaço gerado por , , e . Isso significa que precisamos encontrar coeficientes , , , e tais que:
Substituindo os polinômios:
Distribuindo e agrupando termos semelhantes:
Para que isso seja igual ao polinômio dado, igualamos os coeficientes:
Resolvendo esse sistema, encontramos os valores de , , , e que satisfazem a equação. Como o sistema possui solução, isso quer dizer que está no subespaço gerado por , , e .
Resposta
Sim, os polinômios , , e geram o espaço vetorial , e o polinômio pertence ao subespaço gerado por esses polinômios.