Suponha que lambda é um auto valor de um operador T. Mostre que f(lambda) é um autovalor de f(T).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que lambda é um autovalor de um operador T, e a gente precisa mostrar que f(lambda) é um autovalor de f(T). Aqui, estamos trabalhando com Álgebra Linear, especificamente com operadores lineares e suas funções. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são autovalores, operadores e como aplicar funções em operadores.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um autovalor. Se T é um operador linear e lambda é um número escalar, então lambda é um autovalor de T se existe um vetor não nulo v tal que:
T(v) = lambda v
Esse vetor v é chamado de autovetor correspondente a lambda.

Passo 3

Agora, queremos aplicar uma função f no operador T, resultando em f(T). Mas como fazemos isso? Basicamente, usamos séries de potências. Se f pode ser expressa como uma série de potências:
f(x) = a0 + a1 x + a2 x^2 + a3 x^3 + dots
Então, aplicamos essa função no operador T da seguinte maneira:
f(T) = a0 I + a1 T + a2 T^2 + a3 T^3 + dots
Onde I é o operador identidade.

Passo 4

Vamos agora aplicar f(T) no autovetor v. Sabemos que T(v) = lambda v, então:
f(T)(v) = a0 I(v) + a1 T(v) + a2 T^2(v) + a3 T^3(v) + dots
Como I(v) = v e T(v) = lambda v, temos:
f(T)(v) = a0 v + a1 lambda v + a2 lambda^2 v + a3 lambda^3 v + dots = f(lambda) v
Isso mostra que:
f(T)(v) = f(lambda) v

Resposta

Portanto, f(lambda) é um autovalor de f(T), já que existe um autovetor v não nulo tal que f(T)(v) = f(lambda) v.

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