Suponha que
é um auto valor de um operador
. Mostre que
é um autovalor de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que
é um autovalor de um operador
, e a gente precisa mostrar que
é um autovalor de
. Aqui, estamos trabalhando com Álgebra Linear, especificamente com operadores lineares e suas funções. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são autovalores, operadores e como aplicar funções em operadores.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um autovalor. Se
é um operador linear e
é um número escalar, então
é um autovalor de
se existe um vetor não nulo
tal que:
Esse vetor
é chamado de autovetor correspondente a
.
Passo 3
Agora, queremos aplicar uma função
no operador
, resultando em
. Mas como fazemos isso? Basicamente, usamos séries de potências. Se
pode ser expressa como uma série de potências:
Então, aplicamos essa função no operador
da seguinte maneira:
Onde
é o operador identidade.
Passo 4
Vamos agora aplicar
no autovetor
. Sabemos que
, então:
Como
e
, temos:
Isso mostra que:
Resposta
Portanto,
é um autovalor de
, já que existe um autovetor
não nulo tal que
.