verifique se os vetores sâo linearmente independentes: v1=(1,3,2,5,4) v2=(0,-3,8,-9,2) v3=(10,-9,0,0,23) v4=(2,4,3,0,0) v5= (15,12,5,1,2).

Passo 1

Beleza, a gente tem aqui cinco vetores no espaço de cinco dimensões e precisa descobrir se eles são linearmente independentes. Ou seja, queremos saber se nenhum desses vetores pode ser escrito como uma combinação dos outros. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como matrizes e determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar esses vetores em uma matriz. Cada vetor vai ser uma coluna dessa matriz. Assim, teremos uma matriz 5x5:
1 & 0 & 10 & 2 & 15 3 & -3 & -9 & 4 & 12 2 & 8 & 0 & 3 & 5 5 & -9 & 0 & 0 & 1 4 & 2 & 23 & 0 & 2

Passo 3

Agora, para verificar se esses vetores são linearmente independentes, precisamos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes. Se for zero, eles são dependentes.

Passo 4

Vamos calcular o determinante passo a passo. Para matrizes maiores, é comum usar a regra de Sarrus ou expansão por cofatores, mas como é uma matriz 5x5, a gente pode simplificar realizando operações que tornem a matriz triangular, onde o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal.
Após algumas operações de linha para simplificar a matriz, chegamos a um determinante diferente de zero.

Resposta

Os vetores são linearmente independentes.

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