Determinar, se possível, uma matriz M in M2(R) de maneira que M^-1 AM seja diagonal, nos seguintes casos:
(rr3 & -2 2 & 1)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma matriz quadrada 3 & -2 2 & 1 e queremos descobrir se existe uma matriz tal que, ao fazermos , a matriz resultante seja uma matriz diagonal. Isso envolve conceitos de diagonalização de matrizes, que é uma parte importante de álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os autovalores e autovetores de , pois eles nos ajudarão a construir a matriz .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores de det(A - lambda I) = 0 . Os autovalores são os valores de A - lambda I = 3 - lambda & -2 2 & 1 - lambda que satisfazem a equação característica:
det(A - lambda I) = (3 - lambda)(1 - lambda) - (-2)(2) = (3 - lambda)(1 - lambda) + 4
Onde = 3(1 - lambda) - lambda(1 - lambda) + 4 = 3 - 3lambda - lambda + lambda^2 + 4 é a matriz identidade. Vamos calcular isso:
= lambda^2 - 4lambda + 7
lambda = 4 pm raiz(-4)^2 - 4 cdot 1 cdot 72 cdot 1 = 4 pm raiz16 - 282 = 4 pm raiz-122
Agora, resolvemos . Usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui vemos que os autovalores são complexos ( ).

Passo 3

Como os autovalores são complexos, isso significa que a matriz não pode ser diagonalizada usando uma matriz com entradas reais. A diagonalização real exige que os autovalores sejam reais e que haja autovetores suficientes para formar a matriz .

Resposta

Não é possível encontrar uma matriz tal que seja diagonal, já que os autovalores de são complexos.

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