Determinar, se possível, uma matriz
de maneira que
seja diagonal, nos seguintes casos:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma matriz quadrada
e queremos descobrir se existe uma matriz
tal que, ao fazermos
, a matriz resultante seja uma matriz diagonal. Isso envolve conceitos de diagonalização de matrizes, que é uma parte importante de álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os autovalores e autovetores de
, pois eles nos ajudarão a construir a matriz
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores de
. Os autovalores são os valores de
que satisfazem a equação característica:
Onde
é a matriz identidade. Vamos calcular isso:
Agora, resolvemos
. Usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui vemos que os autovalores são complexos (
).
Passo 3
Como os autovalores são complexos, isso significa que a matriz
não pode ser diagonalizada usando uma matriz
com entradas reais. A diagonalização real exige que os autovalores sejam reais e que haja autovetores suficientes para formar a matriz
.
Resposta
Não é possível encontrar uma matriz
tal que
seja diagonal, já que os autovalores de
são complexos.
Exercícios relacionados
Mostre que:
(b)
(b)
Nos itens a seguir, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Se e
forem ortogonais, então
.
Se
Nos exercícios
, determine o polinômio característico de cada operador linear, encontre seus autovalores e autovetores e dê uma base e a dimensão de cada autoespaço correspondente.
.
Prove as seguintes propriedades:
(d)
(d)