Determinar, se possível, uma matriz de maneira que seja diagonal, nos seguintes casos:

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma matriz quadrada e queremos descobrir se existe uma matriz tal que, ao fazermos , a matriz resultante seja uma matriz diagonal. Isso envolve conceitos de diagonalização de matrizes, que é uma parte importante de álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os autovalores e autovetores de , pois eles nos ajudarão a construir a matriz .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores de . Os autovalores são os valores de que satisfazem a equação característica:
Onde é a matriz identidade. Vamos calcular isso:
Agora, resolvemos . Usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui vemos que os autovalores são complexos ( ).

Passo 3

Como os autovalores são complexos, isso significa que a matriz não pode ser diagonalizada usando uma matriz com entradas reais. A diagonalização real exige que os autovalores sejam reais e que haja autovetores suficientes para formar a matriz .

Resposta

Não é possível encontrar uma matriz tal que seja diagonal, já que os autovalores de são complexos.

Exercícios relacionados

Mostre que:
(b)
Nos itens a seguir, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Se e forem ortogonais, então .
Nos exercícios , determine o polinômio característico de cada operador linear, encontre seus autovalores e autovetores e dê uma base e a dimensão de cada autoespaço correspondente. .
Prove as seguintes propriedades:
(d)