Nos itens a seguir, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Se u e v forem ortogonais, então |u+v|=|u|+|v|.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para verificar se a afirmação "Se u e v forem ortogonais, então |u+v| = |u| + |v|" é verdadeira ou falsa. Estamos lidando com conceitos de Vetores e Normas de Vetores. Para resolver isso, vamos precisar das propriedades de vetores ortogonais e da fórmula para calcular a norma de uma soma de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa vetores serem ortogonais. Dois vetores são ortogonais se o ângulo entre eles é de 90 graus, ou seja, seu produto escalar é zero: u cdot v = 0.

Passo 3

Agora, vamos ver como calcular a norma da soma de dois vetores, |u + v|. Usamos a seguinte fórmula:
|u + v| = raiz(u + v) cdot (u + v)

Passo 4

Vamos expandir o produto escalar:
(u + v) cdot (u + v) = u cdot u + 2 u cdot v + v cdot v
Sabemos que u cdot u = |u|^2 e v cdot v = |v|^2. Como u e v são ortogonais, u cdot v = 0.

Passo 5

Substituindo na expressão:
|u + v| = raiz|u|^2 + 0 + |v|^2 = raiz|u|^2 + |v|^2

Passo 6

Agora, comparando com a afirmação original |u+v| = |u| + |v|, vemos que:
raiz|u|^2 + |v|^2 neq |u| + |v|
A única situação em que isso seria igual é quando um dos vetores é o vetor nulo, o que não é o caso geral.

Resposta

A afirmação é falsa. Se u e v são ortogonais, então |u+v| = raiz|u|^2 + |v|^2 neq |u| + |v|.

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