Nos itens a seguir, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Se e forem ortogonais, então .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para verificar se a afirmação "Se e forem ortogonais, então " é verdadeira ou falsa. Estamos lidando com conceitos de Vetores e Normas de Vetores. Para resolver isso, vamos precisar das propriedades de vetores ortogonais e da fórmula para calcular a norma de uma soma de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa vetores serem ortogonais. Dois vetores são ortogonais se o ângulo entre eles é de 90 graus, ou seja, seu produto escalar é zero: .

Passo 3

Agora, vamos ver como calcular a norma da soma de dois vetores, . Usamos a seguinte fórmula:

Passo 4

Vamos expandir o produto escalar:
Sabemos que e . Como e são ortogonais, .

Passo 5

Substituindo na expressão:

Passo 6

Agora, comparando com a afirmação original , vemos que:
A única situação em que isso seria igual é quando um dos vetores é o vetor nulo, o que não é o caso geral.

Resposta

A afirmação é falsa. Se e são ortogonais, então .

Exercícios relacionados

Nos exercícios , determine o polinômio característico de cada operador linear, encontre seus autovalores e autovetores e dê uma base e a dimensão de cada autoespaço correspondente. .
Seja um subconjunto de um espaço vetorial dotado de produto interno (usual).
(a) Verifique se o conjunto é L.I.
Mostre que:
(b)
Determinar, se possível, uma matriz de maneira que seja diagonal, nos seguintes casos: