Nos itens a seguir, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Se
e
forem ortogonais, então
.
Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos pede para verificar se a afirmação "Se
e
forem ortogonais, então
" é verdadeira ou falsa. Estamos lidando com conceitos de Vetores e Normas de Vetores. Para resolver isso, vamos precisar das propriedades de vetores ortogonais e da fórmula para calcular a norma de uma soma de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa vetores serem ortogonais. Dois vetores são ortogonais se o ângulo entre eles é de 90 graus, ou seja, seu produto escalar é zero:
.
Passo 3
Agora, vamos ver como calcular a norma da soma de dois vetores,
. Usamos a seguinte fórmula:
Passo 4
Vamos expandir o produto escalar:
Sabemos que
e
. Como
e
são ortogonais,
.
Passo 5
Substituindo na expressão:
Passo 6
Agora, comparando com a afirmação original
, vemos que:
A única situação em que isso seria igual é quando um dos vetores é o vetor nulo, o que não é o caso geral.
Resposta
A afirmação é falsa. Se
e
são ortogonais, então
.
Exercícios relacionados
Nos exercícios
, determine o polinômio característico de cada operador linear, encontre seus autovalores e autovetores e dê uma base e a dimensão de cada autoespaço correspondente.
.
Seja
um subconjunto de um espaço vetorial
dotado de produto interno (usual).
(a) Verifique se o conjunto é L.I.
(a) Verifique se o conjunto
Mostre que:
(b)
(b)
Determinar, se possível, uma matriz
de maneira que
seja diagonal, nos seguintes casos: