Mostre que:
(b) det(B^-1)=[det(B)]^-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para mostrar que o determinante da inversa de uma matriz é igual ao inverso do determinante de . Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente propriedades de determinantes e matrizes inversas. Para resolver isso, a gente vai precisar saber como funcionam determinantes e inversas de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma matriz tem uma inversa se e somente se o determinante de for diferente de zero, ou seja, . A inversa é a matriz que, quando multiplicada por , dá a matriz identidade.

Passo 3

Agora, uma propriedade importante dos determinantes é que o determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto dos determinantes delas. Matemáticamente, isso é escrito como:
det(AB) = det(A) cdot det(B)
Vamos aplicar essa propriedade usando a matriz e sua inversa .

Passo 4

Sabemos que:
B cdot B^-1 = I
onde det(B cdot B^-1) = det(I) é a matriz identidade. Aplicando o determinante em ambos os lados dessa igualdade, temos:

Passo 5

Usando a propriedade do determinante do produto, substituímos:
det(B) cdot det(B^-1) = det(I)
E sabemos que o determinante da matriz identidade det(B) cdot det(B^-1) = 1 é 1, então:

Passo 6

Agora, para encontrar det(B^-1) = 1det(B) , a gente só precisa isolar essa expressão. Dividindo ambos os lados da equação por det(B^-1) = [det(B)]^-1 , que sabemos que não é zero, temos:
Ou seja:

Resposta

Portanto, mostramos que .

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