Mostre que:
(b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para mostrar que o determinante da inversa de uma matriz é igual ao inverso do determinante de . Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente propriedades de determinantes e matrizes inversas. Para resolver isso, a gente vai precisar saber como funcionam determinantes e inversas de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma matriz tem uma inversa se e somente se o determinante de for diferente de zero, ou seja, . A inversa é a matriz que, quando multiplicada por , dá a matriz identidade.

Passo 3

Agora, uma propriedade importante dos determinantes é que o determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto dos determinantes delas. Matemáticamente, isso é escrito como:
Vamos aplicar essa propriedade usando a matriz e sua inversa .

Passo 4

Sabemos que:
onde é a matriz identidade. Aplicando o determinante em ambos os lados dessa igualdade, temos:

Passo 5

Usando a propriedade do determinante do produto, substituímos:
E sabemos que o determinante da matriz identidade é 1, então:

Passo 6

Agora, para encontrar , a gente só precisa isolar essa expressão. Dividindo ambos os lados da equação por , que sabemos que não é zero, temos:
Ou seja:

Resposta

Portanto, mostramos que .

Exercícios relacionados

Nos itens a seguir, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Se e forem ortogonais, então .
Nos exercícios , determine o polinômio característico de cada operador linear, encontre seus autovalores e autovetores e dê uma base e a dimensão de cada autoespaço correspondente. .
Determinar, se possível, uma matriz de maneira que seja diagonal, nos seguintes casos:
Nos exercícios , determine o polinômio característico de cada operador linear, encontre seus autovalores e autovetores e dê uma base e a dimensão de cada autoespaço correspondente. .