Mostre que:
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para mostrar que o determinante da inversa de uma matriz
é igual ao inverso do determinante de
. Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente propriedades de determinantes e matrizes inversas. Para resolver isso, a gente vai precisar saber como funcionam determinantes e inversas de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma matriz
tem uma inversa
se e somente se o determinante de
for diferente de zero, ou seja,
. A inversa
é a matriz que, quando multiplicada por
, dá a matriz identidade.
Passo 3
Agora, uma propriedade importante dos determinantes é que o determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto dos determinantes delas. Matemáticamente, isso é escrito como:
Vamos aplicar essa propriedade usando a matriz
e sua inversa
.
Passo 4
Sabemos que:
onde
é a matriz identidade. Aplicando o determinante em ambos os lados dessa igualdade, temos:
Passo 5
Usando a propriedade do determinante do produto, substituímos:
E sabemos que o determinante da matriz identidade
é 1, então:
Passo 6
Agora, para encontrar
, a gente só precisa isolar essa expressão. Dividindo ambos os lados da equação por
, que sabemos que não é zero, temos:
Ou seja:
Resposta
Portanto, mostramos que
.
Exercícios relacionados
Nos itens a seguir, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Se e
forem ortogonais, então
.
Se
Nos exercícios
, determine o polinômio característico de cada operador linear, encontre seus autovalores e autovetores e dê uma base e a dimensão de cada autoespaço correspondente.
.
Determinar, se possível, uma matriz
de maneira que
seja diagonal, nos seguintes casos:
Nos exercícios
, determine o polinômio característico de cada operador linear, encontre seus autovalores e autovetores e dê uma base e a dimensão de cada autoespaço correspondente.
.