Determinar, se possível, uma matriz M in M2(R) de maneira que M^-1 A M seja diagonal, nos seguintes casos:
a) (cc2 & 4 3 & 13)
b) (cc3 & -2 2 & 1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma matriz de que, quando fizeremos , o resultado seja uma matriz diagonal. Isso se chama diagonalização de matrizes. Para isso, vamos precisar encontrar os autovalores e autovetores da matriz . Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar com a parte a):
A = 2 & 4 3 & 13
Primeiro, precisamos encontrar os autovalores de det(A - lambda I) = 0 . Autovalores são valores que satisfazem a equação:
onde é a matriz identidade.

Passo 3

Calculando o determinante:
det 2 - lambda & 4 3 & 13 - lambda = (2 - lambda)(13 - lambda) - (4)(3)
Isso dá:
(2 - lambda)(13 - lambda) - 12 = lambda^2 - 15lambda + 26 - 12 = lambda^2 - 15lambda + 14
Então, resolvemos a equação:
lambda^2 - 15lambda + 14 = 0

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática:
Usamos a fórmula de Bhaskara:
lambda = 15 pm raiz225 - 562 = 15 pm raiz1692 = 15 pm 132
Portanto, os autovalores são:
lambda1 = 15 + 132 = 14
lambda2 = 15 - 132 = 1

Passo 5

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para 2-14 & 4 3 & 13-14 x y = -12 & 4 3 & -1 x y = 0 0 :
Resolvemos -12x + 4y = 0 :
3x - y = 0
Isso nos dá as equações:
y = 3x
1 3
Podemos simplificar a segunda equação:
Então, um autovetor é .

Passo 6

Para 2-1 & 4 3 & 13-1 x y = 1 & 4 3 & 12 x y = 0 0 :
Resolvemos x + 4y = 0 :
3x + 12y = 0
Isso nos dá as equações:
x = -4y
-4 1
Podemos simplificar a primeira equação:
Então, um autovetor é .

Passo 7

Agora que temos os autovetores, podemos formar a matriz M = 1 & -4 3 & 1 colocando esses vetores como colunas:
M^-1 A M = 14 & 0 0 & 1
Para confirmar que é diagonal, realmente teríamos:

Passo 8

Vamos agora para a parte b):
A = 3 & -2 2 & 1
Primeiro, encontramos os autovalores resolvendo .

Passo 9

Calculando o determinante:
det 3 - lambda & -2 2 & 1 - lambda = (3 - lambda)(1 - lambda) - (-2)(2)
Isso dá:
(3 - lambda)(1 - lambda) + 4 = lambda^2 -4lambda +7
Então, a equação é:
lambda^2 -4lambda +7 = 0

Passo 10

Resolvendo a equação quadrática:
lambda = 4 pm raiz16 - 282 = 4 pm raiz-122 = 2 pm iraiz3
Como os autovalores são complexos, a matriz não é diagonalizável sobre os números reais.

Resposta

a) Sim, a matriz M = 1 & -4 3 & 1 que diagonaliza é:
b) Não é possível diagonalizar a matriz usando matrizes reais, pois seus autovalores são complexos.

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