Determinar, se possível, uma matriz de maneira que seja diagonal, nos seguintes casos:
a)
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma matriz de que, quando fizeremos , o resultado seja uma matriz diagonal. Isso se chama diagonalização de matrizes. Para isso, vamos precisar encontrar os autovalores e autovetores da matriz . Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar com a parte a):
Primeiro, precisamos encontrar os autovalores de . Autovalores são valores que satisfazem a equação:
onde é a matriz identidade.
Passo 3
Calculando o determinante:
Isso dá:
Então, resolvemos a equação:
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática:
Usamos a fórmula de Bhaskara:
Portanto, os autovalores são:
Passo 5
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para :
Resolvemos :
Isso nos dá as equações:
Podemos simplificar a segunda equação:
Então, um autovetor é .
Passo 6
Para :
Resolvemos :
Isso nos dá as equações:
Podemos simplificar a primeira equação:
Então, um autovetor é .
Passo 7
Agora que temos os autovetores, podemos formar a matriz colocando esses vetores como colunas:
Para confirmar que é diagonal, realmente teríamos:
Passo 8
Vamos agora para a parte b):
Primeiro, encontramos os autovalores resolvendo .
Passo 9
Calculando o determinante:
Isso dá:
Então, a equação é:
Passo 10
Resolvendo a equação quadrática:
Como os autovalores são complexos, a matriz não é diagonalizável sobre os números reais.
Resposta
a) Sim, a matriz que diagonaliza é:
b) Não é possível diagonalizar a matriz usando matrizes reais, pois seus autovalores são complexos.