Determinar, se possível, uma matriz de maneira que seja diagonal, nos seguintes casos:
a)
b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma matriz de que, quando fizeremos , o resultado seja uma matriz diagonal. Isso se chama diagonalização de matrizes. Para isso, vamos precisar encontrar os autovalores e autovetores da matriz . Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar com a parte a):
Primeiro, precisamos encontrar os autovalores de . Autovalores são valores que satisfazem a equação:
onde é a matriz identidade.

Passo 3

Calculando o determinante:
Isso dá:
Então, resolvemos a equação:

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática:
Usamos a fórmula de Bhaskara:
Portanto, os autovalores são:

Passo 5

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para :
Resolvemos :
Isso nos dá as equações:
Podemos simplificar a segunda equação:
Então, um autovetor é .

Passo 6

Para :
Resolvemos :
Isso nos dá as equações:
Podemos simplificar a primeira equação:
Então, um autovetor é .

Passo 7

Agora que temos os autovetores, podemos formar a matriz colocando esses vetores como colunas:
Para confirmar que é diagonal, realmente teríamos:

Passo 8

Vamos agora para a parte b):
Primeiro, encontramos os autovalores resolvendo .

Passo 9

Calculando o determinante:
Isso dá:
Então, a equação é:

Passo 10

Resolvendo a equação quadrática:
Como os autovalores são complexos, a matriz não é diagonalizável sobre os números reais.

Resposta

a) Sim, a matriz que diagonaliza é:
b) Não é possível diagonalizar a matriz usando matrizes reais, pois seus autovalores são complexos.

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e
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(a) , munido das operações
onde .