Verifique se em cada um dos itens o conjunto
, munido das operações indicadas, é um espaço vetorial sobre
.
(a)
, munido das operações
onde
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se o conjunto
, com as operações de adição
e multiplicação por escalar
definidas, é um espaço vetorial sobre
. Para isso, vamos usar os axiomas de espaço vetorial, que são regras que as operações precisam seguir para que tudo funcione certinho como um espaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no que são essas operações:
-
Adição (
): Isso significa que a gente simplesmente soma componente por componente. -
Multiplicação por escalar (
): Aqui, cada componente do vetor é multiplicada pelo número real.
Passo 3
Agora, vamos verificar os axiomas de espaço vetorial um por um para ver se
satisfaz todos eles.
Passo 4
1. Fechamento sob a adição:
Para quaisquer dois vetores
e
em
, a soma
também está em
, porque a soma de dois números reais é um número real. Então,
é fechado sob adição.
Passo 5
2. Comutatividade da adição:
A ordem não interfere na soma, então a adição é comutativa.
Passo 6
3. Associatividade da adição:
Para três vetores
:
Os dois resultados são iguais, então a adição é associativa.
Passo 7
4. Elemento neutro da adição:
Existe um vetor
em
tal que para qualquer vetor
:
Então, o vetor
é o elemento neutro da adição.
Passo 8
5. Elemento inverso da adição:
Para todo vetor
em
, existe um vetor
em
tal que:
Portanto, todo vetor tem um inverso aditivo.
Passo 9
6. Fechamento sob a multiplicação por escalar:
Para qualquer escalar
e qualquer vetor
:
Então,
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 10
7. Distribuição da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores:
Para qualquer escalar
e vetores
:
Assim, a distribuição é válida.
Passo 11
8. Distribuição da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares:
Para escalares
e vetor
:
Portanto, a distribuição é válida.
Passo 12
9. Associação da multiplicação por escalares:
Para escalares
e vetor
:
Então, a associação da multiplicação por escalares funciona.
Passo 13
10. Elemento neutro da multiplicação por escalar:
O escalar
em
satisfaz:
Portanto,
é o elemento neutro da multiplicação por escalar.
Resposta
Sim, o conjunto
, com as operações definidas de adição
e multiplicação por escalar
, é um espaço vetorial sobre
.
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e
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a)
b)
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