Verifique se em cada um dos itens o conjunto V, munido das operações indicadas, é um espaço vetorial sobre R.
(a) V=R^3, munido das operações
(x1, y1, z1) oplus(x2, y2, z2) & =(x1+x2, y1+y2, z1+z2) alpha odot(x, y, z) & =(alpha x, alpha y, alpha z)
onde (x1, y1, z1),(x2, y2, z2),(x, y, z) in R^3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se o conjunto , com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas, é um espaço vetorial sobre . Para isso, vamos usar os axiomas de espaço vetorial, que são regras que as operações precisam seguir para que tudo funcione certinho como um espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no que são essas operações:
  • Adição ( (x1, y1, z1) oplus (x2, y2, z2) = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) ):
    alpha odot (x, y, z) = (alpha x, alpha y, alpha z)
    Isso significa que a gente simplesmente soma componente por componente.
  • Multiplicação por escalar ( ):
    Aqui, cada componente do vetor é multiplicada pelo número real .

Passo 3

Agora, vamos verificar os axiomas de espaço vetorial um por um para ver se satisfaz todos eles.

Passo 4

1. Fechamento sob a adição:
Para quaisquer dois vetores e em , a soma também está em , porque a soma de dois números reais é um número real. Então, é fechado sob adição.

Passo 5

2. Comutatividade da adição:
u oplus v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) = v oplus u
A ordem não interfere na soma, então a adição é comutativa.

Passo 6

3. Associatividade da adição:
Para três vetores (u oplus v) oplus w = (x1 + x2 + x3, y1 + y2 + y3, z1 + z2 + z3) :
u oplus (v oplus w) = (x1 + x2 + x3, y1 + y2 + y3, z1 + z2 + z3)
Os dois resultados são iguais, então a adição é associativa.

Passo 7

4. Elemento neutro da adição:
Existe um vetor u oplus 0 = (x + 0, y + 0, z + 0) = (x, y, z) = u em tal que para qualquer vetor :
Então, o vetor é o elemento neutro da adição.

Passo 8

5. Elemento inverso da adição:
Para todo vetor u oplus (-u) = (x - x, y - y, z - z) = (0, 0, 0) = 0 em , existe um vetor em tal que:
Portanto, todo vetor tem um inverso aditivo.

Passo 9

6. Fechamento sob a multiplicação por escalar:
Para qualquer escalar alpha odot u = (alpha x, alpha y, alpha z) in V e qualquer vetor :
Então, é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 10

7. Distribuição da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores:
Para qualquer escalar alpha odot (u oplus v) = alpha odot (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) = (alpha(x1 + x2), alpha(y1 + y2), alpha(z1 + z2)) e vetores = (alpha x1 + alpha x2, alpha y1 + alpha y2, alpha z1 + alpha z2) = alpha odot u oplus alpha odot v :
Assim, a distribuição é válida.

Passo 11

8. Distribuição da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares:
Para escalares (alpha + beta) odot u = ((alpha + beta)x, (alpha + beta)y, (alpha + beta)z) = (alpha x + beta x, alpha y + beta y, alpha z + beta z) e vetor = alpha odot u oplus beta odot u :
Portanto, a distribuição é válida.

Passo 12

9. Associação da multiplicação por escalares:
Para escalares alpha odot (beta odot u) = alpha odot (beta x, beta y, beta z) = (alpha(beta x), alpha(beta y), alpha(beta z)) = ((alpha beta)x, (alpha beta)y, (alpha beta)z) e vetor = (alpha beta) odot u :
Então, a associação da multiplicação por escalares funciona.

Passo 13

10. Elemento neutro da multiplicação por escalar:
O escalar 1 odot u = (1 cdot x, 1 cdot y, 1 cdot z) = (x, y, z) = u em satisfaz:
Portanto, é o elemento neutro da multiplicação por escalar.

Resposta

Sim, o conjunto , com as operações definidas de adição e multiplicação por escalar , é um espaço vetorial sobre .

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