Verifique se em cada um dos itens o conjunto , munido das operações indicadas, é um espaço vetorial sobre .
(a) , munido das operações
onde .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se o conjunto , com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas, é um espaço vetorial sobre . Para isso, vamos usar os axiomas de espaço vetorial, que são regras que as operações precisam seguir para que tudo funcione certinho como um espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no que são essas operações:
  • Adição ( ):
    Isso significa que a gente simplesmente soma componente por componente.
  • Multiplicação por escalar ( ):
    Aqui, cada componente do vetor é multiplicada pelo número real .

Passo 3

Agora, vamos verificar os axiomas de espaço vetorial um por um para ver se satisfaz todos eles.

Passo 4

1. Fechamento sob a adição:
Para quaisquer dois vetores e em , a soma também está em , porque a soma de dois números reais é um número real. Então, é fechado sob adição.

Passo 5

2. Comutatividade da adição:
A ordem não interfere na soma, então a adição é comutativa.

Passo 6

3. Associatividade da adição:
Para três vetores :
Os dois resultados são iguais, então a adição é associativa.

Passo 7

4. Elemento neutro da adição:
Existe um vetor em tal que para qualquer vetor :
Então, o vetor é o elemento neutro da adição.

Passo 8

5. Elemento inverso da adição:
Para todo vetor em , existe um vetor em tal que:
Portanto, todo vetor tem um inverso aditivo.

Passo 9

6. Fechamento sob a multiplicação por escalar:
Para qualquer escalar e qualquer vetor :
Então, é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 10

7. Distribuição da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores:
Para qualquer escalar e vetores :
Assim, a distribuição é válida.

Passo 11

8. Distribuição da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares:
Para escalares e vetor :
Portanto, a distribuição é válida.

Passo 12

9. Associação da multiplicação por escalares:
Para escalares e vetor :
Então, a associação da multiplicação por escalares funciona.

Passo 13

10. Elemento neutro da multiplicação por escalar:
O escalar em satisfaz:
Portanto, é o elemento neutro da multiplicação por escalar.

Resposta

Sim, o conjunto , com as operações definidas de adição e multiplicação por escalar , é um espaço vetorial sobre .

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