Determinar a projeção ortogonal de f(t)=2 t-1 in P2(R) sobre o subespaço U=[t], em relação ao produto interno dado por lang<= p(t), q(t)rang<==integral0^1 p(t) q(t) d t.

Passo 1

Vamos resolver o problema de encontrar a projeção ortogonal do polinômio no espaço das polinômios de grau no máximo 2, denotado por . O subespaço sobre o qual faremos a projeção é , ou seja, todos os múltiplos de . Para isso, vamos usar o conceito de projeção ortogonal e o produto interno definido por .

Passo 2

A projeção ortogonal de ProjU(f) = lang<= f, t rang<=lang<= t, t rang<= , t sobre o subespaço pode ser calculada usando a fórmula:
Isso significa que precisamos calcular dois produtos internos: e .

Passo 3

Primeiro, vamos calcular lang<= f, t rang<= = integral0^1 (2t - 1) cdot t , dt = integral0^1 (2t^2 - t) , dt :
integral0^1 2t^2 , dt = 2 cdot t^33 |0^1 = 23
Integral de integral0^1 -t , dt = -t^22 |0^1 = -12 :
lang<= f, t rang<= = 23 - 12 = 16
Integral de :
Então,

Passo 4

Agora, vamos calcular lang<= t, t rang<= = integral0^1 t cdot t , dt = integral0^1 t^2 , dt = t^33 |0^1 = 13 :

Passo 5

Com os produtos internos calculados, podemos encontrar a projeção:
ProjU(f) = 1613 , t = 12 t

Resposta

A projeção ortogonal de sobre o subespaço é .

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