Determinar a projeção ortogonal de sobre o subespaço , em relação ao produto interno dado por .
Passo 1
Vamos resolver o problema de encontrar a projeção ortogonal do polinômio no espaço das polinômios de grau no máximo 2, denotado por . O subespaço sobre o qual faremos a projeção é , ou seja, todos os múltiplos de . Para isso, vamos usar o conceito de projeção ortogonal e o produto interno definido por .
Passo 2
A projeção ortogonal de sobre o subespaço pode ser calculada usando a fórmula:
Isso significa que precisamos calcular dois produtos internos: e .
Passo 3
Primeiro, vamos calcular :
Integral de :
Integral de :
Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular lang<= t, t rang<= = integral0^1 t cdot t , dt = integral0^1 t^2 , dt = t^33 |0^1 = 13 :
Passo 5
Com os produtos internos calculados, podemos encontrar a projeção: